Lúc 6 giờ sáng một ô tô khởi thành từ A để đi đến B. Đến 7 giờ 30 phút một ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h và hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ô tô? (ô tô không bị hư hỏng hay dừng lại dọc đường).

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=0$$\Rightarrow$ab + bc + ca = 0.

Ta thấy a² + 2bc = a² + bc + (–ab – ac) = a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c)

Tương tự, b² + 2ac = (b – a)(b – c)

c² + 2ab = (c – a)(c – b).

Khi đó, $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}$

$=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$

$=\frac{b-c+c-a+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)}=0$.

Vậy $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}=0$.

a) 9x² – 3 = (3x + 1)(2x – 3)

$\iff$ 9x² – 3 = 6x² – 7x – 3

$\iff$ 3x² – 7x = 0

$\iff$ x(3x – 7) = 0

$\iff$ x = 0 hoặc 3x – 7 = 0

$\iff$ x = 0 hoặc $x=\frac{7}{3}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\{0;\frac{7}{3}\}$.

b) $\frac{3x}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{4x+3}{x(x-5)}+3$.

ĐK: x ≠ 0; x ≠ 5.

Phương trình đã cho tương đương:

$\frac{3x^2}{x(x-5)}+\frac{x-5}{x(x-5)}=\frac{4x+3}{x(x-5)}+\frac{3x(x-5)}{x(x-5)}$

$\iff$ 3x² + x – 5 = 4x + 3 + 3x(x – 5)

$\iff$ 3x² + x – 5 = 4x + 3 + 3x² – 15x

$\iff$ x – 5 = 4x + 3 – 15x

$\iff$ 12x = 8

$\iff x=\frac{2}{3}$ (TMĐK).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{\frac{2}{3}\right\}$.