Lúc 6 giờ sáng một ô tô khởi thành từ A để đi đến B. Đến 7 giờ 30 phút một ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h và hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ô tô? (ô tô không bị hư hỏng hay dừng lại dọc đường).

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=0$$\Rightarrow$ab + bc + ca = 0.

Ta thấy a² + 2bc = a² + bc + (–ab – ac) = a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c)

Tương tự, b² + 2ac = (b – a)(b – c)

c² + 2ab = (c – a)(c – b).

Khi đó, $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}$

$=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$

$=\frac{b-c+c-a+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)}=0$.

Vậy $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}=0$.

Vì ABCD là hình bình hành nên:

+ AD // BC hay AD // BF

+ AB // CD hay AB // DK.

Áp dụng định lý Ta-let, ta có:

+ AD // BF suy ra: $\frac{AE}{EF}=\frac{ED}{EB}$  (1)

+ AB // DK suy ra: $\frac{ED}{EB}=\frac{EK}{AE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{AE}{EF}=\frac{EK}{AE}$.

Do đó AE² = EF.EK (đpcm).

b) Xét ∆AHB và ∆BND có:

$\widehat{AHB}=\widehat{BND}={90}^o$

$\widehat{ABH}=\widehat{BDN}$ (AB // DK, hai góc so le trong)

Do đó ∆AHB  ∆BND (g.g) (đpcm)

Suy ra $\frac{AB}{BD}=\frac{BH}{DN}\frac{AB}{BD}=\frac{BH}{DN}$$\iff$ AB.DN = BD.BH

Mà AB = DC nên DC.DN = BD.BH (1)

Xét ∆ADH và ∆BDM có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BMD}={90}^o$

$\widehat{BDM}$ chung.

Do đó ∆ADH ∆BDM (g.g).

Suy ra $\frac{AD}{DB}=\frac{DH}{DM}$ $\iff$AD.DM = DH.DB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD.DM + DC.DN = BD.BH + DH.DB = BD.(BH + HD)

= BD.BD = BD².

Do đó AD.DM + DC.DN = BD² (đpcm).