Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BD.

a) Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác DBC và AD² = HD.BD.

b) Tính độ dài HD và HB.

c) Tia phân giác của góc ADB cắt AH tại E và AB tại F. Chứng minh $\frac{EH}{EA}=\frac{FA}{FB}$.

Ta có $AH\perp DB$ $\Rightarrow \widehat{AHD}={90}^o$.

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AD // BD.

Suy ra $\widehat{ADH}=\widehat{DBC}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆ADH và ∆DBC có:

$\widehat{ADH}=\widehat{DBC}$ (cmt)

$\widehat{AHD}=\widehat{DCB}={90}^o$

Do đó ∆ADH  ∆DBC (g.g)

Suy ra: $\frac{AD}{BD}=\frac{DH}{BC}$ mà AD = BC (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

$\iff \frac{AD}{BD}=\frac{DH}{AD}$$\Rightarrow$ AD² = HD.BD.

Vậy ∆ADH  ∆DBC và AD² = HD.BD.

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABD vuông tại A, ta có:

BD² = AD² + AB² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225

$\Rightarrow$ BD = 15 (cm).

Ta có AD² = HD.BD $\Rightarrow DH=\frac{A{D}^2}{BD}=\frac{9^2}{15}=\mathrm{5,4}\left(cm\right)$

$\Rightarrow$BH = BD – DH = 15 – 5,4 = 9,6 (cm).

Vậy DH = 5,4 cm; BH = 9,6 cm.

c) Xét ∆ADH có DE là tia phân giác của $\widehat{ADH}$.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\frac{DH}{DA}=\frac{EH}{EA}$ mà AD = BC

Suy ra  $\frac{DH}{BC}=\frac{EH}{EA}$(1)

Xét ∆ADB có DF là tia phân giác của $\widehat{ADB}$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

 $\frac{FA}{FB}=\frac{AD}{DB}$  (2)

Mà $\frac{AD}{FB}=\frac{DH}{BC}$ (cmt)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{EH}{EA}=\frac{FA}{FB}$ (đpcm).