Cho Parapol (P): $y = x^2+1$ và đường thẳng (d): $y = mx+2$. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b   ( như hình bên). Biết ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx = -2$ và ${\int }_c^{b}f\left(x\right)dx = 5$. Hỏi S bằng bao nhiêu?

Có ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{a}+\frac{\ln c}{b}$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thì $a^2+b+c$ là:

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}x+1 khi x\ge 0\\ e^{2x} khi x\le 0\end{array}\right.$. Tích phân $I = {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R=2, đường cong $y = \sqrt{4-x}$ và trục hoành ( miền tô đậm như hình vẽ).

Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Biết ${\int }_3^4\frac{dx}{(x+1)(x-2)} = a\ln 2 + b\ln 5 +c$, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S = a - 3b + c

Cho tích phân $I = {\int }_0^1\frac{dx}{1 + \sqrt{3x+1}}$. Biết kết quả $I = a + b\ln 2 + c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ . Khi đó a-b+c bằng bao nhiêu?