Với các kí hiệu trên hình vẽ, cần có thêm yếu tố nào nữa để kết luận ∆ABC = ∆ADE (g.c.g) ?

ĐK: x $\ne$0.

Ta có: $\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}$  (*)

Suy ra: $\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}$ và $\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}$$=\frac{1+3y-(1+5y)}{12-5x}=\frac{1+3y-1-5y}{12-5x}=\frac{-2y}{12-5x}$         (1)

$\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}=\frac{1+5y-(1+7y)}{5x-4x}=\frac{1+5y-1-7y}{5x-4x}=\frac{-2y}{x}$    

        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $\frac{-2y}{12-5x}$ = $\frac{-2y}{x}$               (3)

- Nếu y = 0 thay vào (*), ta được: $\frac{1}{12}=\frac{1}{5x}=\frac{1}{4x}$

Mà x 0 nên không có giá trị x thỏa mãn (*).

- Nếu y 0:

Từ (3) suy ra: x = 12 – 5x

x + 5x = 12

6x = 12

x = 2 (thỏa mãn)

Thay x = 2 vào (*) ta được:

$\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{10}=\frac{1+7y}{8}$

$\Rightarrow \frac{1}{12}+\frac{1}{4}y=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}y$

$\Rightarrow \frac{1}{4}y=\frac{-1}{60}$

$\Rightarrow y=\frac{-1}{15}$ (thỏa mãn)

Vậy x = 2, $y=\frac{-1}{15}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

a) Chứng minh: ∆OAD = ∆OCB.

Ta có: OA + AB = OB

OC + CD = OD

Mà OA = OC = 3cm, OD = OB = 5cm.

Nên AB = CD.                                                                       

Xét ∆OAD và ∆OCB có:

OD = OB (gt)

$\widehat{AOD}$ chung

 OA = OC (gt).

Do đó ∆OAD = ∆OCB (c.g.c).

b) Chứng minh: IA = IC.

∆OAD = ∆OCB (câu a)

Suy ra: $\widehat{OCB}=\widehat{OAD}$,$\widehat{OBC}=\widehat{ODA}$ (các cặp góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{OCB}+\widehat{BCD}={180}^o$

$\widehat{OAD}+\widehat{BAD}={180}^o$

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{OAD}$

Do đó: $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}$.

Xét ∆ICD và ∆IAB có:

$\widehat{OBC}=\widehat{ODA}$ (cmt)

CD = AB (cmt)

$\widehat{BCD}=\widehat{BAD}$ (cmt)

Do đó ∆ICD = ∆IAB (g.c.g).

Suy ra IA = IC (hai cạnh tương ứng).

c) Chứng minh: OI là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Xét ∆OIC và ∆OAI có:

OC = OA (gt)

IC = IA (cmt)

Cạnh OI chung

Do đó ∆OIC = ∆OAI (c.c.c).

Suy ra: $\widehat{IOD}=\widehat{IOB}$ (hai góc tương ứng).

Vậy OI là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.