Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, $\widehat{ASB}={60}^0$, $\widehat{CSB}={90}^0$, và $\widehat{CSA}={120}^0$. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB

Đáp án là B 

Gọi H là trung điểm của AB . Tam giác SAB đều nên suy ra SH ⊥AB  . Theo giả thiết (SAB) vuông góc với ( ABCD) và có giao tuyến AB nên suy ra SH ⊥ (ABCD) tại H . Có AH $\cap$ (SBD) = B nên

Trong ( ABCD) kẻ HI ⊥ BD  tại I , kết hợp SH ⊥ (ABCD) ta suy ra

BD⊥ (SHI) =>  (SHI)  ⊥ (SBD) , mà (SHI ) $\cap$(SBD) = SI nên trong (SHI) nếu ta kẻ HK ⊥ SI  tại K thì HK ⊥ (SBD) tại K , do đó HK = d (H,( SBD)) .

Ta tính được : 

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a$\sqrt{3}$

Tam giác SHI vuông tại H đường cao HK nên 

Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án là C

+ Gọi O là giao điểm của AC,BD

 MO \\ SB =>  SB \\ ACM

 d  (SB,ACM)= d (B,ACM) = d (D,ACM) .

+ Gọi I là trung điểm của AD ,

+ Trong ABCD: IK $\perp$ AC  (với K $\in$   AC ).

+ Trong MIK: IH $\perp$ MK  (với H  $\in$MK )  (1) .

+ Ta có: AC $\perp$ MI ,AC $\perp$ IK => AC $\perp$ MIK => AC $\perp$ IH (2).

Từ 1 và 2 suy ra

IH $\perp$ ACM  d(I ,ACM) = IH  .

+ Tính IH ?

- Trong tam giác vuông MIK. 

- Mặt khác

Vậy d(SB,(ACM))=$\frac{2a}{3}$

Lời giải khác

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A (0;0;0) ,B (a;0;0); D (0; a;0) ;C (a; a;0); S (0;0;2a)

Vì M là trung điểm của  SD $\Rightarrow M\left(0;\frac{a}{2};a\right)$

Gọi O là giao điểm của AC , BD

 MO // SB  => SB//(ACM)

=> d(SB, (ACM))=d(B,(ACM))

Ta có:

là một VTPT của mp ( ACM ).

Vậy phương trình mặt phẳng ( ACM ): 2x-2y+z=0

=> d(SB, (ACM))=d(B,(ACM)) =$\frac{2a}{3}$