Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, BC = 15 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC=\Delta A\text{E}C.$

b) Vẽ đường trung tuyến BH của $\Delta BEC$ cắt cạnh AC tại M. Chứng minh M là trọng tâm của $\Delta BEC$ và tính độ dài đoạn CM.

c) Từ A vẽ đường thẳng song song với EC, đường thẳng này cắt cạnh BC tại K. Chứng minh rằng ba điểm E, M, K thẳng hàng.

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A và $\Delta AEC$ vuông tại A có:

AB = AE (theo giả thiết)

AC chung

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{E}C$ (2 cạnh góc vuông)

b) Do A là trung điểm của BE nên CA là đường trung tuyến ứng của $\Delta BEC.$

Xét $\Delta BEC$ có CA và BH là hai đường trung tuyến cắt nhau tại M.

Do đó M là trọng tâm của $\Delta BEC$

Do đó CM = $\frac{2}{3}$CA.

 Áp dụng định lý Pytago vào $\Delta ABC$ vuông tại A:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ 9² + AC² = 15²

$\Rightarrow$ AC² = 225 - 81

$\Rightarrow$ AC² = 144

$\Rightarrow$ AC = 12 cm

Khi đó CM = $\frac{2}{3}$CA = $\frac{2}{3}$.12 = 8 cm.

Vậy CM = 8 cm.

c) Trên tia đối của tia KA lấy điểm N sao cho KN = KA.

Do $\Delta ABC=\Delta A\text{E}C$ (2 cạnh góc vuông) nên BC = EC (2 cạnh tương ứng) và $\Rightarrow \widehat{KCA}=\widehat{ACE}$ (2 góc tương ứng).

$\widehat{ACB}=\widehat{AC\text{E}}$.

Do AK // EC nên $\widehat{K\text{A}C}=\widehat{AC\text{E}}$ (2 góc so le trong)

Do đó $\widehat{KCA}=\widehat{K\text{A}C}$.

$\Delta K\text{A}C$ có $\widehat{KCA}=\widehat{K\text{A}C}$ nên $\Delta K\text{A}C$ cân tại K.

Do đó KA = KC.

Mà KA = KN = $\frac{1}{2}$ AN nên KA = KN = KC = $\frac{1}{2}$ AN.

$\Delta ACN$ có KA = KN = KC = $\frac{1}{2}$ AN nên $\Delta ACN$ vuông tại C.

Xét $\Delta ACN$ vuông tại C và $\Delta CA\text{E}$ vuông tại A:

$\widehat{NAC}=\widehat{EC\text{A}}$ (chứng minh trên).

AC chung.

$\Rightarrow \Delta ACN=\Delta CA\text{E}$ (góc nhọn - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ AN = CE (2 cạnh tương ứng).

Mà EC = BC nên AN = BC.

Mà AN = 2AK nên BC = 2AK.

Lại có AK = KC nên BC = 2KC.

Do đó K là trung điểm của BC.

$\Delta BEC$ có M là trọng tâm, lại có K là trung điểm của BC nên E, M, K thẳng hàng.

Vậy E, M, K thẳng hàng.