Thời gian giải một bài toán của 30 học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Giá trị (x)	5	7	9	10	12	15
Tần số (n)	3	4	7	9	5	2	N = 30

a) Dấu hiệu ở đây là gì? Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.

b) Tìm mốt của dấu hiệu.

a) f(x) = -2x⁴ - 3x³ + 4x⁴ - x² + 5x + 3x² + 5x³ + 6

f(x) = (-2x⁴ + 4x⁴) + (- 3x³ + 5x³) + (- x² + 3x²) + 5x + 6

f(x) = 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 5x + 6

Bậc của đa thức f(x): 4.

Hệ số cao nhất của đa thức f(x): 2.

Hệ số tự do của đa thức f(x): 6.

g(x) = x⁴ - x³ + x² - 5x - x³ - 2x² + 3

g(x) = x⁴ + (- x³ - x³) + (x² - 2x²) - 5x + 3

g(x) = x⁴ - 2x³ - x² - 5x + 3

Bậc của đa thức g(x): 4.

Hệ số cao nhất của đa thức g(x): 1.

Hệ số tự do của đa thức g(x): 3.

b) h(x) = f(x) + g(x)

h(x) = 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 5x + 6 + x⁴ - 2x³ - x² - 5x + 3

h(x) = (2x⁴ + x⁴) + (2x³ - 2x³) + (2x² - x²) + (5x - 5x) + (6 + 3)

h(x) = 3x⁴ + x² + 9

k(x) = f(x) - 2g(x) - 4x²

k(x) = 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 5x + 6 - 2(x⁴ - 2x³ - x² - 5x + 3) - 4x²

k(x) = 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 5x + 6 - 2x⁴ + 4x³ + 2x² + 10x - 6 - 4x²

k(x) = (2x⁴ - 2x⁴) + (2x³ + 4x³) + (2x² + 2x² - 4x²) + (5x + 10x) + (6 - 6)

k(x) = 6x³ + 15x

a) Do I nằm trên đường trung trực của AB nên AI = BI.

$\Delta AIB$ có AI = BI nên $\Delta AIB$ cân tại I.

Do đó $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$.

Lại có: $\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=90°;$ $\widehat{IBA}+\widehat{IC\text{A}}=90°$ nên $\widehat{IAC}=\widehat{IC\text{A}}$.

$\Delta AIC$ có $\widehat{IAC}=\widehat{IC\text{A}}$ nên $\Delta AIC$ cân tại I.

b) Xét $\Delta MBC$ có $CA\perp MB;$ $MI\perp BC$.

Mà CA cắt MI tại N nên N là trực tâm của $\Delta MBC$.

Do đó $BN\perp MC$ hay $BE\perp MC$.

c) $\Delta MBC$có MI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta MBC$ cân tại M.

Khi đó MI là đường phân giác của $\widehat{BMC}.$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{EMN}$.

Xét $\Delta AMN$ vuông tại A và $\Delta EMN$ vuông tại E có:

MN chung.

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta EMN$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta EMN$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow$ MA = ME (2 cạnh tương ứng).

$\Delta MA\text{E}$ có MA = ME nên $\Delta MA\text{E}$ cân tại M.

Do đó $\widehat{MA\text{E}}=\widehat{ME\text{A}}$.

Xét $\Delta MA\text{E}$ có $\widehat{MA\text{E}}+\widehat{ME\text{A}}+\widehat{AM\text{E}}=180°$

$\Rightarrow 2\widehat{MA\text{E}}+\widehat{AM\text{E}}=180°$

$\Rightarrow \widehat{MA\text{E}}=\frac{180°-\widehat{AM\text{E}}}{2}$ (1).

Do $\Delta MBC$ cân tại M nên $\widehat{MBC}=\widehat{MCB}$.

Xét $\Delta MBC$ có $\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180°$

$\Rightarrow 2\widehat{MBC}+\widehat{BMC}=180°$

$\Rightarrow \widehat{MBC}=\frac{180°-\widehat{BMC}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MA\text{E}}=\widehat{MBC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EA // BC.

Vậy hai đường thẳng EA và BC song song với nhau.