Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Đường trung trực của AB cắt BC tại I.

a) Chứng minh rằng $\Delta AIB,\Delta AIC$ là các tam giác cân.

b) Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, cắt tia BA và AC tại M và N; tia BN cắt CM tại E. Chứng minh rằng $EB\perp MC.$

c) Chứng minh rằng các đường thẳng EA và BC song song với nhau.

a) Do I nằm trên đường trung trực của AB nên AI = BI.

$\Delta AIB$ có AI = BI nên $\Delta AIB$ cân tại I.

Do đó $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$.

Lại có: $\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=90°;$ $\widehat{IBA}+\widehat{IC\text{A}}=90°$ nên $\widehat{IAC}=\widehat{IC\text{A}}$.

$\Delta AIC$ có $\widehat{IAC}=\widehat{IC\text{A}}$ nên $\Delta AIC$ cân tại I.

b) Xét $\Delta MBC$ có $CA\perp MB;$ $MI\perp BC$.

Mà CA cắt MI tại N nên N là trực tâm của $\Delta MBC$.

Do đó $BN\perp MC$ hay $BE\perp MC$.

c) $\Delta MBC$có MI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta MBC$ cân tại M.

Khi đó MI là đường phân giác của $\widehat{BMC}.$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{EMN}$.

Xét $\Delta AMN$ vuông tại A và $\Delta EMN$ vuông tại E có:

MN chung.

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta EMN$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta EMN$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow$ MA = ME (2 cạnh tương ứng).

$\Delta MA\text{E}$ có MA = ME nên $\Delta MA\text{E}$ cân tại M.

Do đó $\widehat{MA\text{E}}=\widehat{ME\text{A}}$.

Xét $\Delta MA\text{E}$ có $\widehat{MA\text{E}}+\widehat{ME\text{A}}+\widehat{AM\text{E}}=180°$

$\Rightarrow 2\widehat{MA\text{E}}+\widehat{AM\text{E}}=180°$

$\Rightarrow \widehat{MA\text{E}}=\frac{180°-\widehat{AM\text{E}}}{2}$ (1).

Do $\Delta MBC$ cân tại M nên $\widehat{MBC}=\widehat{MCB}$.

Xét $\Delta MBC$ có $\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180°$

$\Rightarrow 2\widehat{MBC}+\widehat{BMC}=180°$

$\Rightarrow \widehat{MBC}=\frac{180°-\widehat{BMC}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MA\text{E}}=\widehat{MBC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EA // BC.

Vậy hai đường thẳng EA và BC song song với nhau.