Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+x-2$ và đường thẳng $y=\left(m+1\right)+2$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là

$x^2+x-2=\left(m+1\right)x+2\iff x^2-mx-4=0\left(1\right).$

Do phương trình (1) có P = -4 < 0 nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Theo định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=-4\end{array}\right..$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+x-2$ và đường thẳng $y=\left(m+1\right)x+2$ là:

$S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|x^2+x-2-\left[\left(m+1\right)x+2\right]\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|x_2-mx-4\right|dx=-\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left(x^2-mx-4\right)dx=\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}\left(x^2-mx-4\right)dx$

$=\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{m}{2}{x}^2-4x\right)\left|\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right.=\frac{1}{3}\left(x_1^3-x_2^3\right)-\frac{m}{2}\left(x_1^2-x_2^2\right)-4\left(x_1-x_2\right)$

$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)-3m\left(x_1+x_2\right)-24\right]$

$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left[2{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-3m\left(x_1+x_2\right)-24\right]$

$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left(2m^2+8-3m^2=24\right)=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left(m^2+16\right).$

Suy ra $S^2=\frac{1}{36}{\left(x_2-x_1\right)}^2{\left(m^2+16\right)}^2=\frac{1}{36}\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]{\left(m^2+16\right)}^2=\frac{1}{36}{\left(m^2+16\right)}^3$

$\Rightarrow S^2\ge \frac{1}{36}{.16}^3=\frac{1024}{9}\Rightarrow S\ge \frac{32}{3}.$

Dấu “=” xảy ra $\iff m=0$

Vậy $S_{\min }=\frac{32}{3}$ khi m = 0.

Chọn C.