Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB=CD=a,MN=a32. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Cách 1. Gọi I là trung điểm của AC. Ta có IM∥ABIN∥CD⇒AB,CD^=IM,IN^ Đặt MIN^=α, xét tam giác IMN có IM=AB2=a2,IN=CD2=a2,MN=a32. Theo định lí côsin, ta có cosα=IM2+IN2−MN22IM.IN=a22+a22−a3222.a2.a2=−12<0 ⇒MIN^=1200 suy ra AB,CD^=600. Cách 2. cosAB,CD^=cosIM,IN^ =IM→.IN→IM→IN→ MN→=IN→−IM→⇒MN→2=IN→−IM→2=IM2+IN2−2IN→.IM→ IN→.IM→=IM2+IN2−MN22=−a28 cosAB,CD^=cosIM,IN^ =IM→.IN→IM→IN→=12 Vậy AB,CD^=600.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,576

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết $AB = CD = a,$ $MN = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1.

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có $\{\begin{cases} IM ∥ AB \\ IN ∥ CD \end{cases} \Rightarrow$ $\hat{(AB, CD)} = \hat{(IM, IN)}$

Đặt $\hat{MIN} = α$ , xét tam giác IMN có $IM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2},$ $IN = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2},$ $MN = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Theo định lí côsin, ta có

$cosα = \frac{{IM}^{2} + {IN}^{2} - {MN}^{2}}{2 IM . IN}$ $= \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2 . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}}$ $= - \frac{1}{2} < 0$

$\Rightarrow \hat{MIN} = 120^{0}$ suy ra $\hat{(AB, CD)} {=60}^{0}$ .

Cách 2.

$\cos \hat{(AB, CD)} = \cos \hat{(IM, IN)}$ $= \frac{|\vec{IM} . \vec{IN}|}{|\vec{IM}| |\vec{IN}|}$

$\vec{MN} = \vec{IN} - \vec{IM} \Rightarrow$ ${\vec{MN}}^{2} = {(\vec{IN} - \vec{IM})}^{2}$ $= {IM}^{2} + {IN}^{2} - 2 \vec{IN} . \vec{IM}$

$\vec{IN} . \vec{IM} = \frac{{IM}^{2} + {IN}^{2} - {MN}^{2}}{2} = - \frac{a^{2}}{8}$

$\cos \hat{(AB, CD)} = |\cos \hat{(IM, IN)}|$ $= \frac{|\vec{IM} . \vec{IN}|}{|\vec{IM}| |\vec{IN}|} = \frac{1}{2}$

Vậy $\hat{(AB, CD)} {=60}^{0}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình hộp $ABCD . A' B' C' D'$ . Ta có $\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB'}$ bằng

A. $\vec{AC'}$

B. $\vec{BC'}$

C. $\vec{BD}$

D. $\vec{BD'}$

Lời giải

Chọn D

Theo quy tắc hình hộp ta có $\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB'} = \vec{BD'}$ .

Câu 2

Cho tứ diện ABCD. Đặt $\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AC} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{c}$ . Gọi M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\vec{DM} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c})$

B. $\vec{DM} = \frac{1}{2} (- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

C. $\vec{DM} = \frac{1}{2} (\vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c})$

D. $\vec{DM} = \frac{1}{2} (\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c})$

Lời giải

Chọn A

Ta có

$\vec{DM} = \vec{AM} - \vec{AD} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) - \vec{AD} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC} - 2 \vec{AD})$ .

$\Rightarrow \vec{DM} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c})$ .

Câu 3

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{x} = \vec{AB}$ ; $\vec{y} = \vec{AC}$ ; $\vec{z} = \vec{AD}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{AG} = \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})$

B. $\vec{AG} = - \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})$

C. $\vec{AG} = \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})$

D. $\vec{AG} = - \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ thỏa mãn $\lim u_{n} = 2$ và $\lim v_{n} = 3 .$ Giá trị của $\lim (u_{n} . v_{n})$ bằng

A. 6

B. 5

C. 1

D. -1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

$\lim 2^{n}$ bằng

A. $+ \infty .$

B. $- \infty .$

C. 2

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $\lim (u_{n} - 2) = 0$ . Giá trị của $\lim u_{n}$ bằng

A. -2

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ thỏa mãn $\lim u_{n} = 4$ và $\lim v_{n} = 2 .$ Giá trị của $\lim (u_{n} + v_{n})$ bằng

A. 2

B. 8

C. -2

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử