Cho $\Delta$ABC cân tại A ($A$ nhọn ). Tia phân giác góc của A cắt BC tại I.

 a) Chứng minh AI $\perp$ BC;

 b) Gọi M là trung điểm của AB, G là giao điểm của CM với AI. Chứng minh rằng BG là đường trung tuyến của tam giác ABC;

 c) Biết AB = AC = 15cm; BC = 18 cm. Tính GI.

a) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AI là cạnh chung

 $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (AI là tia phân giác của góc A)

 Do đó: tam giác AIB = tam giác AIC (cgc)  (Hai góc tương ứng)

 Mà ${\widehat{I}}_1+{\widehat{I}}_2=180°$ (Hai góc kề bù)${\widehat{I}}_1= {\widehat{I}}_2 ={90}^0 \Rightarrow AI \perp BC$ . (1 điểm)

b) Ta có: MA = MB (M là trung điểm của AB)

 =>  CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB.

Trong tam giác cân ABC (cân tại A), AI là đường phân giác ứng với đáy BC

 => AI cũng là đường trung tuyến

Do đó G là giao của hai trung tuyến AI và CM nên G là trọng tâm của tam giác ABC (Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Nên BG là đường trung tuyến của tam giác ABC.    (1 điểm)

c) Trong tam giác cân ABC (Cân tại A), AI là phân giác cũng là trung tuyến

Nên IB = IC = $\frac{1}{2}$ BC  IB = IC = 9 (cm)

Áp dụng định lí Py–ta–go vào tam giác vuông AIB, ta có:

AI² = AB² – IB² = 15² – 9² = 144 =>   AI = 12 (cm)

G là trọng tâm của tam giác ABC =>   GI = $\frac{1}{3}$ AI = .$\frac{1}{3}$ 12 = 4 (cm)       (0,5 điểm)