Câu hỏi:
28/06/2022 180Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {2; - 2;4} \right),B\left( { - 3;3; - 1} \right)\] và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\]. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + 3M{B^2}\] bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(J\left( {1;3;3} \right),R = \sqrt 3 .\)
Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {IJ} = \left( {2;2;2} \right) \Rightarrow IJ = 2\sqrt 3 .\)
Khi đó \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MB} } \right)^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)
Suy ra \(P = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\underbrace {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} }_{\overrightarrow 0 }} \right)\)
Do đó \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}.\) Ta có hình minh họa sau:
Khi đó \(M{I_{\min }} \Leftrightarrow MI = IH \Rightarrow I \equiv H\) với H là trung điểm IJ.
Khi đó ta có \(IM = \frac{{IJ}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\) Đồng thời \(\left\{ \begin{array}{l}IA = 3\sqrt 3 \\IB = 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Do đó \({P_{\min }} = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} = 5.3 + 2.27 + 3.12 = 105\)
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Số các giá trị nguyên của m để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 50} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 100m} \right)x + 2020m\] nghịch biến trên \[\left( {7;13} \right)\] là
Câu 2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \[2a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên \[(SBC)\] tạo với đáy một góc \[{30^0}\].Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Câu 4:
Cho phương trình \[{\log _3}^2\left( {9x} \right) - \left( {m + 5} \right){\log _3}x + 3m - 10 = 0\]. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {1;81} \right]\] là
Câu 5:
Biết \[\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7} \] với \[a,b,c,d\] là các số nguyên. Tính \[P = ab + cd.\]
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[\vec a = \vec i + 3\vec j - 2\vec k\]. Tọa độ của vectơ \[\vec a\] là
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27. Gọi \[M,N,P,Q\] lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh \[A,B,C,D,M,N,P,Q\].
về câu hỏi!