Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo C và khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1km, khoảng cách từ B đến A là 4km được minh họa bằng hình vẽ sau:

Biết rằng mỗi rằng km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất ?

Chọn A.

Gọi x (km) là khoảng cách từ S đến tới điểm B $B\Rightarrow SB=x\left(0<x<4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km}\right)$. Khi đó khoảng cách từ $SA=4-x\left(\text{km}\right)\Rightarrow SC=\sqrt{B{C}^2+B{S}^2}=\sqrt{1+x^2}$(km)

Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:

$C\left(x\right)=3000\left(4-x\right)+5000\sqrt{1+x^2},$ với $0<x<4$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C(x) với 0 < x < 4

$\Rightarrow C\text{'}\left(x\right)=-3000+\frac{5000x}{\sqrt{1+x^2}}=1000\left(\frac{5x-3\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

$C\text{'}\left(x\right)=0\iff 5x-3\sqrt{1+x^2}=\iff 3\sqrt{1+x^2}=5x\iff 9\left(1+x^2\right)=25x^2\left(do0<x<4\right)$

$\iff x^2=\frac{9}{16}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}\left(tm\right)\\ x=-\frac{3}{4}\left(ktm\right)\end{array}\right.\left(do0<x<4\right)$. Lại có:

$C\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{5000}{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^3}>0,\forall x\in \left(0;4\right)$.

Do đó $\underset{x\in \left(0;4\right)}{\min }C\left(x\right)=C\left(\frac{3}{4}\right)=16000$ (USD).

Vậy, để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm S phải cách A là $AB-BS=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}\text{km}$.