Một ô tô đang chạy với vận tốc \(15\left( {m/s} \right)\) thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc \(a = 3t - 8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m/{s^2}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi sau 10 giây tăng vận tốc ô tô đi được bao nhiêu mét?

Đáp án: \(S = \frac{{937}}{{12}}\)

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\( - {x^3} + 12x = - {x^2} \Leftrightarrow - {x^3} + {x^2} + 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) là:

\(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} + \int\limits_0^4 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).

Đáp án A

Phương pháp giải:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có n điểm cực trị dương thì hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có \(n + 1\) điểm cực trị.

Giải chi tiết:

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải có 2 điểm cực trị dương \( \Rightarrow \) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) phải có 2 nghiệm bội lẻ dương phân biệt.

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {nghiem{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} boi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)}\\{{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.\)

Do đó phương trình (*) cần phải có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1.

Ta có: \(\Delta = {\left( {4m - 5} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)\)

\( = 16{m^2} - 40m + 25 - 4{m^2} + 28m - 24\)

\( = 12{m^2} - 12m + 1\)

Để (*) có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1 thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = 12{m^2} - 12m + 1 > 0}\\{P = {m^2} - 7m + 6 \le 0}\\{1 + 4m - 5 + {m^2} - 7m + 6 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}}\\{m < \frac{{3 - \sqrt 6 }}{6}}\end{array}} \right.}\\{1 \le m \le 6}\\{m \ne 1}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m \le 6}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.\)

Vậy có 4 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.