Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?

a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.

Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.

Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

b) Xét $\Delta AIP$ vuông tại P và $\Delta AIN$ vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AIP=\Delta AIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét $\Delta BIP$ vuông tại P và $\Delta BIM$ vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó $\Delta BIP=\Delta BIM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét $\Delta CIM$ vuông tại M và $\Delta CIN$ vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta CIM=\Delta CIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.