Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.

Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.

Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

b) Xét $\Delta AIP$ vuông tại P và $\Delta AIN$ vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AIP=\Delta AIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét $\Delta BIP$ vuông tại P và $\Delta BIM$ vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó $\Delta BIP=\Delta BIM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét $\Delta CIM$ vuông tại M và $\Delta CIN$ vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta CIM=\Delta CIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.