Giải SBT Toán 7 CD Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do đó AM = MC, AN = NB.

Mà AB = AC

Suy ra AM = MC = AN = NB.

Xét DABM và DACN có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AM = AN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Do ∆AMB = ∆ANC (câu a) suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$  (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}$ , $\widehat{ACB}=\widehat{ACN}+\widehat{NCB}$ .

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  và $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ . 

Nên $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$  hay $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

Suy ra tam giác GBC cân tại G.

Vậy tam giác GBC cân tại G

c) Ta có AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Theo câu b tam giác GBC cân tại G nên GB = GC (hai cạnh bên).

Do đó G nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AG vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Vậy AG vuông góc với BC.

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM = $\frac{1}{2}$ GA.

Mà MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD và GM = $\frac{1}{2}$ GD.

Suy ra GD = GA.

Do đó CG là trung tuyến của tam giác ACD.

Vậy CG là trung tuyến của tam giác ACD.

b) Xét $∆$BGM và $∆$CDM có:

GM = DM (giả thiết),

 $\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$(hai góc đối đỉnh),

MB = MC (vì M là trung điểm của BC)

Nên $∆$BGM = $∆$CDM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CDM}$  (hai góc tương ứng).

Mà chúng ở vị trí so le trong nên BG // CD.

Vậy BG // CD.

c) Trong tam giác ABD có AI và BG là hai đường trung tuyến, AI và BG cắt nhau tại F.

Do đó F là trọng tâm của tam giác ABD.

Suy ra FI = $\frac{1}{2}$ FA hay AF = 2FI.

Vậy AF = 2FI.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau.

Gọi G là giao điểm của BM và CN.

Theo tính chất trọng tâm tam giác có: BG =$\frac{2}{3}$ BM và CG =$\frac{2}{3}$ CN.

Vì BM = CN nên BG = CG.

Suy ra tam giác BGC cân tại G.

Do đó $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$  (hai góc ở đáy).

Xét $∆$MBC và $∆$NCB có:

BC là cạnh chung,

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (do $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$  ),

MB = NC (giả thiết)

Do đó ∆MBC = ∆NCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$  (hai góc tương ứng).

Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó AN = NB = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$ BC = BM = MC.

Xét DABM và DCBN có:

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABC}$ là góc chung,

BM = BN (chứng minh trên)

Do đó DABM = DCBN (c.c.c).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

• Vì G là trọng tâm tam giác ABC

Nên AG = $\frac{2}{3}$ AM và CG = $\frac{2}{3}$ CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà AM = CN.

Suy ra GA = GC.

Chứng minh tương tự ta có GA = GB.

Do đó GA = GB = GC.

Vậy GA = GB = GC.