Giải SBT Toán 7 CD Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án

Vì tam giác ABC, DBC là tam giác đều nên AB = AC = BC = BD = DC.

• Ta có CA = CD nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do BA = BD nên B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Suy ra BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó phát biểu a là đúng.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{ABC}=60°$ .

Trong tam giác ABI vuông tại I có $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{IAB}=90°-\widehat{IBA}=90°-60°=30°$ .

Xét tam giác ABI có $\widehat{ABI}>\widehat{IAB}$  (do 60° > 30°).

Suy ra AI > BI (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Do đó điểm I không cách đều hai điểm A và B nên phát biểu b là sai.

• Vì BC = BD nên điểm B nằm trên đường trung trực của CD.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Vì CB = CD nên điểm C nằm trên đường trung trực của BD.

Do đó phát biểu d là sai.

Đặt $\widehat{DCA}=x$ .

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{BCD}=2x$ .

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Suy ra $\widehat{ABC}=2x$

Do điểm D nằm trên đường trung trực của canhk AC nên DA = DC.

Do đó tam giác DAC cân ở D nên $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=x$ .

Xét DABC có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay 2x + 2x + x = 180° nên 5x = 180°.

Suy ra x =180° : 5 = 36°.

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=2.36°=72°,\widehat{BAC}=36°$ .

Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 36°, 72°, 72°.

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

 $\widehat{API}=\widehat{AQI}$ (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$  (hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

Mà $\widehat{BAC}=60°$  (do tam giác ABC đều).

Nên $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}=30°$ .

Xét tam giác API vuông tại P có:  $\widehat{PAI}+\widehat{PIA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{PIA}=90°-\widehat{PAI}=90°-30°=60°$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{PIB}=60°$ .

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

$\widehat{API}=\widehat{BPI}=90°$ ,

PI là cạnh chung,

$\widehat{PIA}=\widehat{PIB}$  (cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.