Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).

a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

a) • Xét DABM và DACM có:

AB = AC (do DABC cân tại A),

 $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó DABM = DACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.90°=45°$

Lại có  $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$(tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà $\widehat{BAC}=90°$  và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  (do DABC cân tại A)

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$

Xét DABM có $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$  (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

• Trong tam giác ABH vuông tại H có ${\widehat{B}}_1+\widehat{BAH}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên ${\widehat{B}}_1=90°-\widehat{BAH}$

Mà ${\widehat{A}}_1=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90°-\widehat{BAH}$

Suy ra ${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_1$

Xét DBAH và DACK có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}\left(=90°\right)$,

${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_1$ (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và  $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$(hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{BAM}+\widehat{MAH}=45°+\widehat{MAH}$

$\widehat{ACK}=\widehat{ACM}+\widehat{MCK}=45°+\widehat{MCK}$

Mà  $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$(chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

$\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.