Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

 $\widehat{API}=\widehat{AQI}$ (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$  (hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

Mà $\widehat{BAC}=60°$  (do tam giác ABC đều).

Nên $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}=30°$ .

Xét tam giác API vuông tại P có:  $\widehat{PAI}+\widehat{PIA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{PIA}=90°-\widehat{PAI}=90°-30°=60°$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{PIB}=60°$ .

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

$\widehat{API}=\widehat{BPI}=90°$ ,

PI là cạnh chung,

$\widehat{PIA}=\widehat{PIB}$  (cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

a) • Xét DABM và DACM có:

AB = AC (do DABC cân tại A),

 $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó DABM = DACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.90°=45°$

Lại có  $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$(tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà $\widehat{BAC}=90°$  và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  (do DABC cân tại A)

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$

Xét DABM có $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$  (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

• Trong tam giác ABH vuông tại H có ${\widehat{B}}_1+\widehat{BAH}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên ${\widehat{B}}_1=90°-\widehat{BAH}$

Mà ${\widehat{A}}_1=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90°-\widehat{BAH}$

Suy ra ${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_1$

Xét DBAH và DACK có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}\left(=90°\right)$,

${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_1$ (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và  $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$(hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{BAM}+\widehat{MAH}=45°+\widehat{MAH}$

$\widehat{ACK}=\widehat{ACM}+\widehat{MCK}=45°+\widehat{MCK}$

Mà  $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$(chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

$\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.