Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.

Xét $\Delta AIP$ vuông tại P và $\Delta AIN$ vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AIP=\Delta AIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.

Do đó IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.

Xét $\Delta BIP$ vuông tại P và $\Delta BIM$ vuông tại M có:

Cạnh BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó $\Delta BIP=\Delta BIM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.

Xét $\Delta CIM$ vuông tại M và $\Delta CIN$ vuông tại N có:

Cạnh CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta CIM=\Delta CIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.

Do đó IC là đường trung trực của MN.