Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] có tâm \[{I_1}\left( {1;0;1} \right),\;\] bán kính \[{R_1} = 2\] và mặt cầu \[\left( {{S_2}} \right)\] có tâm \[{I_2}\left( {1;3;5} \right),\] bán kính \[{R_2} = 1.\] Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với \[\left( {{S_1}} \right),\;\left( {{S_2}} \right)\] lần lượt tại A và B. Gọi \[M,\;m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn AB. Tính giá trị của \[P = M.m\]

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \[v\left( t \right) = 10t - {t^2},\] trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \[v\left( t \right)\] được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là

Tập nghiệm của bất phương trình \[{3^{2x - 1}} > 27\] là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10;10} \right]\] để bất phương trình sau nghiệm đúng \[\forall x \in \mathbb{R}:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\]?

Hàm số \[y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\] đồng biến trên

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\left( {1 + 2\sin x} \right)\] là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^4} + {x^3} - 2{x^2}\] trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\] bằng

Cho a là số thực dương khác 1. Tính \[P = {\log _{{a^2}}}a\].