Cho a, b là các số dương thỏa mãn a2+b2=2. Chứng minh rằng ab+baab2+ba2≥4.

Áp dụng BĐT côsi ta có ab+ba≥2ab.ba=2, ab2+ba2≥2ab2.ba2=2ab Suy ra ab+baab2+ba2≥4ab (1) Mặt khác ta có 2=a2+b2≥2a2b2=2ab⇒ab≤1 (2) Từ (1) và (2) suy ra ab+baab2+ba2≥4 (ĐPCM). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Câu hỏi:

13/07/2024 354

Cho a, b là các số dương thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Chứng minh rằng $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) (\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}}) \geq 4$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng BĐT côsi ta có

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} = 2, \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b^{2}} . \frac{b}{a^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{a b}}$

Suy ra $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) (\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}}) \geq \frac{4}{\sqrt{a b}}$ (1)

Mặt khác ta có $2 = a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a^{2} b^{2}} = 2 a b \Rightarrow a b \leq 1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) (\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}}) \geq 4$ (ĐPCM).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1?

A. (-2;1).

B. (3;-7).

C. (0;1).

D. (0;0).

Lời giải

Chọn đáp án C

Đáp án A. Thay x = -2 và y = 1 vào BPT đã cho, ta được 2.(-2) + 1 < 1 ⇔ - 3 < 1 (luôn đúng). Do đó (-2;1) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án B. Thay x = 3 và y = - 7 vào BPT đã cho, ta được 2.3 + -7 < 1 ⇔ - 1 < 1 (luôn đúng). Do đó (3;-7) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án C. Thay x = 0 và y = 1 vào BPT đã cho, ta được 2.0 + 1 < 1 ⇔ 1 < 1 (vô lí). Do đó (0;1) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án D. Thay x = 0 và y = 0 vào BPT đã cho, ta được 2.0 + 0 < 1 ⇔ 0 < 1 (luôn đúng). Do đó (0;0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy chỉ có cặp số (0;1) không thỏa bất phương trình.

Câu 2

Cho tam giác ABC, các đường cao $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ thỏa mãn hệ thức $3 h_{a} = 2 h_{b} + h_{c}$ . Tìm hệ thức giữa a, b, c.

A. $\frac{3}{a} = \frac{2}{b} - \frac{1}{c}$ .

B. 3a = 2b + c.

C. 3a = 2b – c.

D. $\frac{3}{a} = \frac{2}{b} + \frac{1}{c}$ .

Lời giải

Chọn đáp án D

Kí hiệu $S = S_{△ A B C}$ .

Ta có:

3 h_{a} = 2 h_{b} + h_{c} \Leftrightarrow \frac{3.2 S}{a} = \frac{2.2 S}{b} + \frac{2 S}{c} \Leftrightarrow \frac{3}{a} = \frac{2}{b} + \frac{1}{c}

Câu 3

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2 x - 5 y + 3 z \leq 0$ .

B. $3 x^{2} + 2 x - 4 > 0$ .

C. $2 x^{2} + 5 y > 3$ .

D. $2 x + 3 y < 5$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hệ trục tọa độ Oxy, Véctơ nào là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 1 + 2 t \end{cases}$ ?

A. $\vec{n} (- 2; - 1)$ .

B. $\vec{n} (2; - 1)$ .

C. $\vec{n} (- 1; 2)$ .

D. $\vec{n} (1; 2)$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{2 x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} + 3} > 2$ là

A. $(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{23}}{4}; \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{23}}{4})$ .

B. $(- \infty; \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{23}}{4}) \cup (\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{23}}{4}; + \infty)$ .

C. $(- \frac{2}{3}; + \infty)$ .

D. $(- \infty; - \frac{2}{3})$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(a; 0), B(0; b), $(a, b \neq 0)$ . Viết phương trình đường thẳng d.

A. $d : \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ .

B. $d : \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ .

C. $d : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

D. $d : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} - (m - 2) x + m^{2} - 4 m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A. 0 < m < 4.

B. m < 0 hoặc m > 4.

C. m > 2.

D. m < 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a2+b2=2. Chứng minh rằng ab+baab2+ba2≥4.

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1?

Cho tam giác ABC, các đường cao ha, hb, hc thỏa mãn hệ thức 3ha=2hb+hc. Tìm hệ thức giữa a, b, c.

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Trong hệ trục tọa độ Oxy, Véctơ nào là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d:x=−2−ty=−1+2t?

Tập nghiệm của bất phương trình 2x2−3x+4x2+3>2 là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(a; 0), B(0; b), a , b≠0 . Viết phương trình đường thẳng d.

Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2−m−2x+m2−4m=0 có hai nghiệm trái dấu.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b là các số dương thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Chứng minh rằng $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) (\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}}) \geq 4$ .

Cho tam giác ABC, các đường cao $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ thỏa mãn hệ thức $3 h_{a} = 2 h_{b} + h_{c}$ . Tìm hệ thức giữa a, b, c.

Trong hệ trục tọa độ Oxy, Véctơ nào là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 1 + 2 t \end{cases}$ ?

Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{2 x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} + 3} > 2$ là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(a; 0), B(0; b), $(a, b \neq 0)$ . Viết phương trình đường thẳng d.

Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} - (m - 2) x + m^{2} - 4 m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.