Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn $f\left(0\right)=\frac{1}{8}$ và đồ thị y = f'(x) (như hình vẽ bên dưới).

Xét hàm số f(x) thỏa mãn $g"\left(x\right)=2021\left[f"\left(x\right)f\left(x\right)+{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2\right]-f"\left(x\right)$ và $g\text{'}\left(0\right)=\frac{2013}{8}.$ Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0.              

Chọn B.

Ta có: $g"\left(x\right)=2021{\left[f\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)\right]}^{\text{'}}-f"\left(x\right)={\left[2021f\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)-f\text{'}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}.\left(1\right)$

Lấy nguyên hàm hai vế của (1) ta được:

$\underset{}{\overset{}{\int }}g"\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}{\left[2021f\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)-f\text{'}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}dx$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=2021f\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)-f\text{'}\left(x\right)+C.\left(2\right)$

Từ đồ thị ta có: f'(0) = 1

Thay x = 0 vào (2) ta được:

$g\text{'}\left(0\right)=2021.f\text{'}\left(0\right).f\left(0\right)-f\text{'}\left(0\right)+C\iff \frac{2013}{8}=\mathrm{2021.1.}\frac{1}{8}-1+C\iff C=0.$

Từ đó suy ra: $g\text{'}\left(x\right)=2021.f\text{'}\left(x\right).\left[f\left(x\right)-\frac{1}{2021}\right].$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\left(3\right)\\ f\left(x\right)=\frac{1}{2021}\left(4\right)\end{array}\right..$

* Giải phương trình (3)

Đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là x = a, x = b, x = c với $-2<a<-1,0<b<1,1<c<2.$

Ta có: $\left(3\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=a\\ x=b\\ x=c\end{array}\right..$

* Giải phương trình (4)

- Do y = f(x) là hàm số bậc bốn nên y = f'(x) là hàm số bậc 3, giả sử $f\text{'}\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$ Từ đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=1\\ f\text{'}\left(-1\right)=3\\ f\text{'}\left(1\right)=-1\\ f"\left(-1\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}d=1\\ -a+b-c+1=3\\ a+b+c+1=-1\\ 3a-2b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=x^3-3x+1$

$\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\left(x^3-3x+1\right)dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2+x+C\text{'}\left(5\right).$

Thay x = 0 vào (5) ta được: $f\left(0\right)=C\text{'}\iff C\text{'}=\frac{1}{8}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2+x+\frac{1}{8}.$

Dễ thấy $f\left(1\right)=-\frac{1}{8}.$

Bảng biến thiến:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left(x\right)=\frac{1}{2021}$ có 4 nghiệm phân biệt khác a, b, c.

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.