Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $AC=a\sqrt{5},BC=2a,BB\text{'}=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC)

Chọn C.

Gọi M là trung điểm BC

Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM\perp BC.$ Mà $AM\perp BB\text{'}$ (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều)

Suy ra $AM\perp \left(BB\text{'}C\text{'}C\right).$

Khi đó B'M là hình chiếu của AB' lên BB'C'C

Suy ra $\widehat{\left(AB\text{'},\left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\right)}=\widehat{\left(AB\text{'},B\text{'}M\right)}=\widehat{AB\text{'}M}={30}^0.$

Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$

$\Delta AB\text{'}M$ vuông tại M có $\sin \widehat{AB\text{'}M}=\frac{AM}{AB\text{'}}\Rightarrow AB\text{'}=\frac{AM}{\sin {30}^0}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2a\sqrt{3}.$

$\Delta ABB\text{'}$ vuông tại B có $BB\text{'}=\sqrt{AB{\text{'}}^2-A{B}^2}=2a\sqrt{2}.$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V=BB\text{'}.S_{ABC}=2a\sqrt{2}.\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=2a^3\sqrt{6}$ (đvtt).

Chọn B.

Gọi M là trung điểm $AB\Rightarrow M\left(1;1;3\right),\overrightarrow{AB}=\left(6;2;4\right)=2\left(3;1;2\right).$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;1;2\right).$

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $3x+y+2z-10=0.$