Câu hỏi:

13/07/2024 5,146

Cho hai biểu thức $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$ và $B = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x - 2}$

a) Tính giá trị của A khi |2x – 3| = 1.

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
c) Tìm số nguyên x để P = A.B đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$

Điều kiện xác định của biểu thức A là: 2 – x ≠ 0 Û x ≠ 2.

Ta có |2x – 3| = 1

Trường hợp 1: 2x – 3 ≥ 0 thì 2x – 3 = 1

Với 2x – 3 ≥ 0 Û 2x ≥ 3 Û x ≥ $\frac{3}{2}$ thì |2x – 3| = 2x – 3. Khi đó:

2x – 3 = 1 Û 2x = 4 Û x = 2 (không thõa mãn)

Trường hợp 2: 2x – 3 ≤ 0 Û 2x ≤ 3 Û x ≤ $\frac{3}{2}$ thì |2x – 3| = – 2x + 3. Khi đó:

– 2x + 3 = 1 Û 2x = 2 Û x = 1 (thõa mãn)

Thay x = 1 (TMĐK) vào $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$ ta được:

$A = \frac{1 + 1^{2}}{2 - 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$ .

Vậy khi |2x – 3| = 1 thì A = 2.

b) Điều kiện xác định của biểu thức B:

$\{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^{2} - x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^{2} + x - 2 x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ (x + 1) (x - 2) \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq 2 \end{matrix}$

Khi đó, ta có:

$B = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x - 2} = \frac{2 x (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 x^{2} + 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{2 x^{2} - 4 x}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{3 x + 3}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 x^{2} + 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - (2 x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - 1}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- x + 2}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- 1}{x + 1}$

Vậy

B = \frac{- 1}{x + 1}

c) Ta có P = A.B nên:

$P = \frac{x + x^{2}}{2 - x} . \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x (x + 1)}{2 - x} . \frac{- 1}{x + 1} = \frac{- x}{2 - x} = \frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

Để biểu thức $P = 1 + \frac{2}{x - 2}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{2}{x - 2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

∙ Xét x – 2 < 0 hay x < 2 thì $\frac{2}{x - 2}$ < 0.

Do đó không xác định được giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

∙ Xét x – 2 > 0 hay x > 2 thì $\frac{2}{x - 2}$ > 0.

Ta thấy: x là số nguyên lớn hơn 2 mà (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất nên x = 3.

Vậy để P = A . B đạt giá trị lớn nhất thì x = 3.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; BC = 8 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2 cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở E và cắt đường thẳng qua C song song với AB ở F.

a) Tính DE.

b) BF cắt AC ở I. Tính $\frac{I F}{I B}$ .

c) Chứng minh rằng IC² = IE.IA.
d) BE cắt AF ở H. Tính $\frac{H A}{H F}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; BC = 8 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2 cm. (ảnh 1)

a)Áp dụng định lý Ta-let trong ∆ABC có DE // BC, ta có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$

$\Leftrightarrow D E = \frac{A D . B C}{A B} = \frac{2.8}{5} = 3, 2$ (cm).

b) Theo đề ta có DE // BC hay DF // BC và BD // CF.

Suy ra tứ giác BDFC là hình bình hành nên ta có FC = BD.

Mà BD = AB – AD = 5 – 2 = 3 (cm).

Suy ra FC = 3 cm.

Ta có CF // AD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{F C}{A D} = \frac{3}{5}$

c) Áp dụng hệ quả của định lý Ta – let với CF // AD, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{I C}{I A}$ (1)

Áp dụng hệ quả định lý Ta – let với EF // BC, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{I E}{I C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{I C}{I A} = \frac{I E}{I C} = \frac{I F}{I B}$ nên IC² = IE.IA.

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian cả đi, về và nghỉ là 5 giờ 10 phút ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0).

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h nên thời gian người đó từ A đến B là $\frac{x}{30}$ (h).

Người đó đi B về A với vận tốc 40 km/h nên thời gian để đi từ B về A là $\frac{x}{40}$ (h).

Thời gian người đó nghỉ là: 30 phút = $\frac{1}{2}$ h.

Đổi 5 giờ 10 phút = $\frac{31}{6}$ giờ.

Theo đề bài, tổng thời gian người đó đi, quay về và nghỉ là 5 giờ 10 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30} + \frac{x}{40} + \frac{1}{2} = \frac{31}{6} \Leftrightarrow \frac{x .4}{30.4} + \frac{x .3}{40.3} + \frac{1.60}{2.60} = \frac{31.20}{6.20} \Leftrightarrow \frac{4 x}{120} + \frac{3 x}{120} + \frac{60}{120} = \frac{620}{120}$