Câu hỏi:
13/07/2022 828Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB.
Khi đó \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \)
Do đó để vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất thì vectơ \(2\overrightarrow {DM} \) có độ dài ngắn nhất
DM có độ dài ngắn nhất
Hay DM2 nhỏ nhất.
Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung
Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:
• M là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\{y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\end{array} \right.\)
M(4; 3)
\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \left( {4;3 - y} \right)\)
DM2 = 42 + (3 – y)2
Hay DM2 = (y – 3)2 + 16
Vì (y – 3)2 ≥ 0 với mọi y
Nên (y – 3)2 + 16 ≥ 16 với mọi y
Hay DM2 ≥ 16 với mọi y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 y = 3.
Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)
Vậy D(0; 3) thì vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
về câu hỏi!