Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Lời giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC ⊥ BD tại I.

• I là trung điểm của AC nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 9}}{2} = 5\\{y_I} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\end{array} \right.\) I(5; 3)

Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)

Vì I là trung điểm của BD nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{x + a}}{2}\\3 = \frac{{y + b}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10 - x\\b = 6 - y\end{array} \right.\] D(10 – x; 6 – y)

Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:

\(\overrightarrow {AC} = \left( {8; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( {10 - 2x;6 - 2y} \right)\)

• AC ⊥ BD \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\]

8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0

80 – 16x – 12 + 4y = 0

4y = 16x – 68

y = 4x – 17 (với y < 0)

• AC = BD AC² = BD²

8² + (–2)² = (10 – 2x)² + (6 – 2y)²

64 + 4 = (10 – 2x)² + [6 – 2(4x – 17)]²

(10 – 2x)² + (6 – 8x + 34)² = 68

(10 – 2x)² + (40 – 8x)² = 68

4.(x – 5)² + 64.(x – 5)² = 68

(x – 5)² = 1

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 1\\x - 5 = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 4\end{array} \right.\)

Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)

Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)

Khi đó ta có điểm B(4; –1)

Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).

Vậy B(4; –1) và D(6; 7).

</></></></>