Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Lời giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC hay \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 2; - 1} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) 2(x – 2) + 2(–1) = 0

2x – 4 – 2 = 0

2x = 6

x = 3

Vậy C(3; 0).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right)\)

Ta có:

• \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)

• \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)

• \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {10} \) (theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = \(2\sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt {10} = 3\sqrt 2 + \sqrt {10} \)(đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2\) (đơn vị diện tích)