Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số \[y = 6x - {x^2}\] và trục hoành. Hai đường thẳng \[y = m,y = n\] chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính \[P = {\left( {9 - m} \right)^3} + {\left( {9 - n} \right)^3}.\]

Đáp án A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = 0\] là \[\int\limits_0^6 {\left| {6x - {x^2}} \right|dx} = 36\].

Ta có \[{x^2} - 6x + m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 9 - m \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt {9 - m} \;\left( {0 < m < 9} \right)\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = m\].

\[\frac{2}{3}.36 = \int\limits_{3 - \sqrt {9 - m} }^{3 + \sqrt {9 - m} } {\left( {6x - {x^2} - m} \right)dx} \Rightarrow 24.3 = \left( {9{x^2} - {x^3} - 3mx} \right)\left| \begin{array}{l}^{3 + \sqrt {9 - m} }\\_{3 - \sqrt {9 - m} }\end{array} \right.\]

Đặt \[\sqrt {9 - m} = a\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 72 = 9\left[ {{{\left( {3 + a} \right)}^2} - {{\left( {3 - a} \right)}^2}} \right] - \left[ {{{\left( {3 + a} \right)}^3} - {{\left( {3 - a} \right)}^3}} \right] - 3\left( {9 - {a^2}} \right).2a\\\;\;\;\;\;\;\;\; = 9.12a - \left[ {{{\left( {a + 3} \right)}^3} + {{\left( {a - 3} \right)}^3}} \right] - 6a\left( {9 - {a^2}} \right) = 54a + 6{a^3} - \left( {2{a^3} + 54a} \right) = 4{a^3}\\ \Rightarrow {a^3} = 18 \Rightarrow {\left( {\sqrt {9 - m} } \right)^3} = 18 \Rightarrow {\left( {9 - m} \right)^3} = 324.\end{array}\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = n\].

\[\frac{1}{3}.36 = \int\limits_{3 - \sqrt {9 - n} }^{3 + \sqrt {9 - n} } {\left( {6x - {x^2} - n} \right)dx} \Rightarrow 12.3 = \left( {9{x^2} - {x^3} - 3nx} \right)\left| \begin{array}{l}^{3 + \sqrt {9 - n} }\\_{3 - \sqrt {9 - n} }\end{array} \right.\]

Tương tự như trên \[ \Rightarrow 36 = 4{\left( {\sqrt {9 - n} } \right)^3} \Rightarrow {\left( {9 - n} \right)^3} = 81.\]