Câu hỏi:

25/07/2022 276

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

$M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: $\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{16} . \frac{49}{16}} = \frac{14}{16} \\ \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \\ \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq 2 \sqrt{1. \frac{49}{16}} = \frac{7}{2} \end{array}$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq \frac{14}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + \frac{49}{16} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M + \frac{49}{16} \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M \geq \frac{49}{16} . \end{array}$

Dấu “=” xảy ra . $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ \frac{1}{4 x} = \frac{7 x}{4} \\ \frac{1}{2 y} = \frac{7 y}{4} \\ \frac{1}{z} = \frac{7 z}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ 7 x^{2} = 1 \\ 7 y^{2} = 2 \\ 7 z^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{7}}{7} \\ y = \frac{\sqrt{14}}{7} \\ z = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{49}{16}$ khi $(x; y; z) = (\frac{\sqrt{7}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Sổ tay Toán 8 (Takenote) Bản 2025

Đã bán 212

₫ 60.000 ₫ 30.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 (chương trình mới)

Đã bán 374

₫ 130.000 ₫ 60.000

Hà Nội

Trọng tâm Văn - Sử - Địa - GDCD và Toán - Anh - KHTN lớp 8 (chương trình mới)

Đã bán 287

₫ 230.000 ₫ 120.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán - Văn - Anh, Toán - Anh - KHTN lớp 6 (chương trình mới)

Đã bán 361

₫ 245.000 ₫ 126.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Xem đáp án » 25/07/2022 1,521

Câu 2:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Xem đáp án » 25/07/2022 1,288

Câu 3:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN. Chứng minh $D E = D F$ .

Xem đáp án » 25/07/2022 879

Câu 4:

Tìm m để đa thức $B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m$ chia hết cho đa thức $C = x - 2$ .

Xem đáp án » 25/07/2022 751

Câu 5:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Xem đáp án » 25/07/2022 650

Câu 6:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Chứng tỏ rằng $P = \frac{3}{x + 5}$ .

Xem đáp án » 25/07/2022 494

Câu 7:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $5 x - x y + y^{2} - 5 y$ .

Xem đáp án » 23/07/2022 490

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn x2+y2+z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=116x2+14y2+1z2 .

Bình luận

Cho tam giác ABC có AB=2BC , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N. Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Cho biểu thức P=2x+4+x+20x2−16.x−4x+5 với x≠±4, x≠−5 . Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn x2+4x=0.

Cho tam giác ABC có AB=2BC , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N. Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN. Chứng minh DE=DF.

Tìm m để đa thức B=x3−3x2+5x−2m chia hết cho đa thức C=x−2 .

Cho biểu thức P=2x+4+x+20x2−16.x−4x+5 với x≠±4, x≠−5. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Cho biểu thức P=2x+4+x+20x2−16.x−4x+5 với x≠±4, x≠−5 . Chứng tỏ rằng P=3x+5.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 5x-xy+y2-5y.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ .

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Tìm m để đa thức $B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m$ chia hết cho đa thức $C = x - 2$ .

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Chứng tỏ rằng $P = \frac{3}{x + 5}$ .

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $5 x - x y + y^{2} - 5 y$ .