Cho các số x, y, z dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

$M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: $\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{16} . \frac{49}{16}} = \frac{14}{16} \\ \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \\ \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq 2 \sqrt{1. \frac{49}{16}} = \frac{7}{2} \end{array}$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq \frac{14}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + \frac{49}{16} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M + \frac{49}{16} \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M \geq \frac{49}{16} . \end{array}$

Dấu “=” xảy ra . $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ \frac{1}{4 x} = \frac{7 x}{4} \\ \frac{1}{2 y} = \frac{7 y}{4} \\ \frac{1}{z} = \frac{7 z}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ 7 x^{2} = 1 \\ 7 y^{2} = 2 \\ 7 z^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{7}}{7} \\ y = \frac{\sqrt{14}}{7} \\ z = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{49}{16}$ khi $(x; y; z) = (\frac{\sqrt{7}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Ta có: $Δ A D F = Δ C D E$ (cmt) $\Rightarrow A F = E C$ .

Mà $C M = A N$ (AMCN là hình bình hành) và $C E = \frac{1}{2} C M \Rightarrow A F = \frac{1}{2} A N$ .

Vậy F là trung điểm AN.

Xét tam giác ABN có G là giao của hai đường trung tuyến AE và NM nên G là trọng tâm của tam giác ABN.

$\Rightarrow$ BG đi qua trung điểm F của AN B, G, F thẳng hàng.

Media VietJack

Câu 2

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Điều kiện: $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Ta có: $x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (t m) \\ x = - 4 (k t m) \end{array} .$

Thay $x = 0$ thì $P = \frac{3}{5}$ .

Câu 3