Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Xét các mệnh đề sau:

P: “Tam giác ABC vuông tại A”.

Q: “Độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

a) +) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến thì AM = $\frac{1}{2}$BC. Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC thì tam giác ABC vuông tại A”.

Xét tam giác ABC có đường trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC.

⇒ AM = MB = MC

⇒ ∆AMB cân tại M

⇒ $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ hay $\widehat{MAB}=\widehat{CBA}$

Tương tự ta có ∆AMC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$ hay $\widehat{MAC}=\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}+\widehat{CBA}$

Ta lại có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=180°$

⇒ $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=90°$

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.