Cho các đẳng thức sau:

a) 10² . 10³ = 10⁶;

b) (1,2)⁸ : (1,2)⁴ = (1,2)²;

c) \({\left[ {{{\left( { - \frac{1}{8}} \right)}^2}} \right]^4} = {\left( { - \frac{1}{8}} \right)^6}\);

d) \({\left( {\frac{{ - 5}}{7}} \right)^4} = {\left( {\frac{{ - 10}}{{49}}} \right)^2}\);

e) 5⁶¹ : (−5)⁶⁰ = 5;

g) (−0,27)³ . (−0,27)² = (0,27)⁵.

Bạn Đức phát biểu: "Trong các đẳng thức trên, chỉ có một đẳng thức đúng". Theo em, phát biểu của bạn Đức đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Theo phương án 2 ta có: Số tiền nhận ngày thứ nhất là 1 đồng; ngày thứ hai là 2 đồng; ngày thứ ba là 2² đồng; ngày thứ tư là 2³ đồng; … ; ngày thứ hai mươi sáu là 2²⁵ đồng.

Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:

1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵ = 2²⁶ – 1 = 67 108 863 (đồng).

Do 50 000 000 < 67 108 863 nên phương án 2 nhận được nhiều tiền công hơn.

Lời giải:

Ta có: A = 1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵.

2A = 2 . (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵) = 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶.

Suy ra 2A – A = (2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶) – (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵)

= 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶ – 1 – 2 – 2¹ – 2² – … – 2²⁵

= (2 – 2) + (2¹ – 2¹) + (2² – 2²) + … (2²⁵ – 2²⁵) + 2²⁶ – 1.

= 2²⁶ – 1.

Vậy A = 2²⁶ – 1.