Chứng minh rằng \[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử \[\sqrt 2 \] là số hữu tỉ.

Như vậy, \[\sqrt 2 \] có thể viết được dưới dạng \(\frac{m}{n}\) với m, n Î ℕ và (m, n) = 1.

Ta có \[\sqrt 2 = \frac{m}{n}\] nên \[{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\frac{m}{n}} \right)^2}\] hay \[2 = {\left( {\frac{m}{n}} \right)^2}\].

Suy ra m² = 2n².

Mà (m, n) = 1 nên m² chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2.

Do đó m = 2k với k Î ℕ và (k, n) = 1.

Thay m = 2k vào m² = 2n² ta được 4k² = 2n² hay n² = 2k².

Do (k, n) = 1 nên n² chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy \[\sqrt 2 \] không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.