Câu hỏi:

03/08/2022 753

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và M là tâm của mặt bên BCC’B’. Mặt phẳng (P) chứa AM cắt hình trụ (T) như hình vẽ.

Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ (T) là

A. $\frac{2 π \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{8 π}{27}$

C. $\frac{8 π \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{4 π \sqrt{2}}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt trụ, khối trụ !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $h = S = 1$

Cạnh $A B = a$ , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là r và p là nửa chu vi của tam giác ABC.

Khi đó ta có: S=p.r=1

Mà

$\begin{array}{l} p = \frac{3 a}{2}; S = \sqrt{p {(p - a)}^{3}} = 1 \\ \Rightarrow p {(p - a)}^{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{3 a}{2} {(\frac{a}{2})}^{3} = 1 \\ \Leftrightarrow a = \frac{2}{\sqrt[4]{3}} \Rightarrow p = \sqrt[4]{27} \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt[4]{27}} \\ \frac{V_{t r u}}{V_{l t r u}} = \frac{S_{t r o n}}{S_{A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{π r^{2}}{p r} = \frac{π r}{p} = \frac{π .1}{\sqrt{27}} \\ \Rightarrow V_{t r u} = \frac{π}{\sqrt{27}} \end{array}$

Media VietJack

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là V₁ và phần tô đậm của (T) là V₂

Mà thiết diện khi lăng trụ bị cắt là tam giác AEF với E và F lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’

Khi đó $\frac{V_{A B C F E}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}}$

Ta có:

\begin{array}{l} \frac{V_{A B C F E}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow V_{2} = \frac{2}{3} . V_{t r u} = \frac{2}{3} . \frac{π}{\sqrt{27}} = \frac{2 π \sqrt{3}}{27} \end{array}

Đáp án cần chọn là: A

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng:

A. $R = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$

B. $R = \sqrt[3]{\frac{V}{π}}$

C. $R = \sqrt[]{\frac{V}{2 π}}$

D. $R = \sqrt[]{\frac{V}{π}}$

Lời giải

Hình trụ đó có chiều cao $h = \frac{V}{π R^{2}}$ và diện tích toàn phần

$S_{t p} = 2 π R^{2} + 2 π R h = 2 π R^{2} + \frac{2 V}{R} = 2 π R^{2} + \frac{V}{R} + \frac{V}{R} \geq 3 \sqrt[3]{2 π R^{2} . \frac{V}{R} . \frac{V}{R}} = 3 \sqrt[3]{2 π V^{2}}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2 π R^{2} = \frac{V}{R} \Leftrightarrow R^{3} = \frac{V}{2 π} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm×240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V₁ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V₂ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 4$

Lời giải

Cách 1: Chu vi đáy là $240 c m \Rightarrow 2 π R_{1} = 240 \Leftrightarrow R_{1} = \frac{120}{π}$

$\Rightarrow V_{1} = π R_{1}^{2} h = π {(\frac{120}{π})}^{2} h = \frac{120^{2} .50}{π}$

Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:

$240 : 2 = 120 c m \Rightarrow 2 π R = 120 \Rightarrow R = \frac{60}{π}$

$\Rightarrow V = π R^{2} h = π {(\frac{60}{π})}^{2} .50 = \frac{60^{2} .50}{π} \Rightarrow V_{2} = 2 V = \frac{{2.60}^{2} .50}{π}$

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{120^{2} .50}{π} : \frac{{2.60}^{2} .50}{π} = 2$

Một đường tròn có bán kính rr thì có chu vi và diện tích lần lượt là

$C = 2 π r; S = π r^{2} \Rightarrow S = \frac{C^{2}}{4 π}$

Gọi chiều dài tấm tôn là a thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là

$S_{1} = \frac{a^{2}}{4 π}; S_{2} = 2. \frac{{(\frac{a}{2})}^{2}}{4 π} = \frac{a^{2}}{8 π} \Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}} = 2 \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = 2$