Câu hỏi:

03/08/2022 998

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh $A B = 3, B C = 4$ và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

A. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{3} π$

B. $V = \frac{25 \sqrt{2}}{3} π$

C. $V = \frac{125 \sqrt{2}}{3} π$

D. $V = \frac{5 \sqrt{2}}{3} π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có : $\{\begin{matrix} B C ⊥ B A \\ B C ⊥ D A \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ (A B D) \Rightarrow B C ⊥ B D \Rightarrow Δ B C D$ vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì $I B = I C = I D = \frac{1}{2} C D$

Tam giác ACD vuông tại A nên $I A = I C = I D = \frac{1}{2} C D$

Do đó $I A = I B = I C = I D \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ (Định lí Pytago).

Vì $D A ⊥ (A B C)$ nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).
$\Rightarrow ∠ (D C; (A B C)) = ∠ (D C; A C) = ∠ D C A = 45^{0}$

Tam giác DAC vuông tại A có $\hat{D C A} = 45^{0}$ nên là tam giác vuông cân

\Rightarrow D C = A C \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}

\Rightarrow R = I A = \frac{1}{2} D C = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là : $V = \frac{4}{3} π I A^{3} = \frac{4}{3} π . {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{125 \sqrt{2}}{3} π$

Đáp án cần chọn là: C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1,2,4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

A.6

B.14

C.12

D.10

Lời giải

Media VietJack

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R=a.

⇒ phương trình mặt cầu của quả bóng là

$(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} + {(z - a)}^{2} = a^{2} (1) .$

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho

d (M; (O x y)) = 1, d (M; (O y z)) = 2, d (M; (O x z)) = 3

Khi đó $z = 1; x = 2; y = 3 \Rightarrow M (2; 3; 1) \in (S) (2) .$

Từ (1),(2) suy ra ${(1 - a)}^{2} + {(2 - a)}^{2} + {(4 - a)}^{2} = a^{2}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} R_{1} = a_{1} = \frac{7 - \sqrt{7}}{2} \\ R_{2} = a_{2} = \frac{7 + \sqrt{7}}{2} \end{matrix} \Rightarrow d_{1} + d_{2} = 2 (R_{1} + R_{2}) = 14$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 2

Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)

A.771

B.385

C.603

D.905

Lời giải

Media VietJack

Ta có đường kính mặt cầu là 60.2=120(cm).

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là 80cm

Nên chiều cao chỏm cầu là $h = \frac{120 - 80}{2} = 20 (c m) .$
Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao h = 20 và bán kính 60cm là

$V_{c c} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = π {.20}^{2} (60 - \frac{20}{3}) = \frac{64000}{3} π (c m^{3}) = \frac{64 π}{3} (l)$

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π {.60}^{3} = 288000 π (c m^{3}) = 288 π (l)$

Khi đó thể tích thùng rượu là $V^{'} = V - 2 V_{c c} = \frac{736}{3} π (l) \approx 771 (l) .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho một hình hộp chữ nhật kích thước $4 \times 4 \times h$ chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối hộp bằng

A. $32 + 32 \sqrt{5}$

B. $48 + 32 \sqrt{7}$

C. $32 + 64 \sqrt{2}$

D. $32 + 32 \sqrt{7}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $9 π a^{3}$

B. $\frac{9 π a^{3}}{2}$

C. $\frac{9 π a^{3}}{8}$

D. $36 π a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

A. $\frac{a \sqrt{6}}{12}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $V = \frac{5 \sqrt{15} π}{18}$

B. $V = \frac{5 \sqrt{15} π}{54}$

C. $V = \frac{4 \sqrt{3} π}{27}$

D. $V = \frac{5 π}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

A. $144 π$

B. $36 π$

C. $288 π$

D. $48 π$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh $A B = 3, B C = 4$ và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.