10 Bài tập Xác định vị trí mà tại đó điện trường bằng không do nhiều điện tích gây ra (có lời giải)

Do hai điện tích tại M và N trái dấu nên điểm P nằm ngoài đoạn MN và gần M hơn (do độ lớn điện tích tại M nhỏ hơn độ lớn điện tích tại N).

Gọi  $\overrightarrow{E_1^{\text{'}}}\text{ và }\overrightarrow{E_2^{\text{'}}}$là cường độ điện trường do ${\text{q}}_1{\text{ và q}}_2$  gây ra tại M thì cường độ điện trường tổng hợp do ${\text{q}}_1{\text{ và q}}_2$  gây ra tại M là:   $\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{{\text{E}}_1^{\text{'}}}+\overrightarrow{E_2^{\text{'}}}$

Ta có:$\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{{\text{E}}_1^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_2^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{{\text{E}}_1}\text{ và }\overrightarrow{{\text{E}}_2}$  phải cùng phương, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn. Để thỏa mãn các điều kiện đó thì M phải nằm trên đường thẳng nối A, B, nằm ngoài đoạn thẳng AB và gần q₂ hơn. 

Với   $E_1^{\text{'}}=E_2^{\text{'}}\text{ thì }{9.10}^9\frac{\left|q_1\right|}{{\text{AM}}^2}={9.10}^9\frac{\left|q_2\right|}{{(AM-AB)}^2}$

 $\Rightarrow \frac{\text{AM}}{\text{AM}-\text{AB}}=\sqrt{\frac{\left|{\text{q}}_1\right|}{\left|{\text{q}}_2\right|}}=2\Rightarrow \text{AM}=2\text{AB}=30 \text{cm}$

Vậy M nằm cách A là 30 cm và cách B là 15 cm.

Các điện tích đặt tại các đỉnh của hình vuông gây ra tại giao điểm O của hai đường chéo hình vuông các vectơ cường độ điện trường  có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:

Ta có:   $E_A=E_B=E_C=E_D=\frac{2kq}{\epsilon a^2}$

Cường độ điện tường tổng hợp tại O là: $\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{A}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{B}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{C}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{D}}}=\overrightarrow{0}$  vì   $\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{A}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{C}}}=\overrightarrow{0}\text{ và }\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{B}}}+\overrightarrow{{\text{E}}_{\text{D}}}=\overrightarrow{0}$

Theo giả thuyết thì ${\overrightarrow{E}}_M={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2$  = 0 Þ ${\overrightarrow{E}}_1=-{\overrightarrow{E}}_2$

    Þ ${\overrightarrow{E}}_1$  ngược hướng với ${\overrightarrow{E}}_2$  và có cùng độ lớn

    Þ $\frac{\left|q_1\right|}{A{M}^2}=\frac{\left|q_2\right|}{M{B}^2}$

Vì M gần A hơn nên AM < MB Þ |q₁| < |q₂|

Mà  ${\overrightarrow{E}}_1$ngược hướng với ${\overrightarrow{E}}_2$ nên điện tích tại A và B đồng thời dương hoặc đồng thời âm (cùng dấu)

Theo giả thuyết thì  ${\overrightarrow{E}}_M={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2$ = 0

Þ ${\overrightarrow{E}}_1=-{\overrightarrow{E}}_2$  Þ M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB (như hình)

Lập luận ta được M nằm ngoài phía B (do |q₂| < |q₁| nên r₂ < r₁)

Để E₁ = E₂ thì $\frac{\left|q_1\right|}{A{M}^2}=\frac{\left|q_2\right|}{B{M}^2}$  hay$\frac{9}{{\left(20+r\right)}^2}=\frac{4}{r^2}$  (*)Þ r = BM = 40 cm.

Theo giả thuyết thì ${\overrightarrow{E}}_M={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2$   = 0

Þ ${\overrightarrow{E}}_1=-{\overrightarrow{E}}_2$ Þ M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB và ngoài phía B (như hình)

Để E₁ = E₂ thì $\frac{\left|q_1\right|}{A{M}^2}=\frac{\left|q_2\right|}{B{M}^2}$  hay $\frac{4}{{\left(8+r\right)}^2}=\frac{1}{r^2}$   (*)Þ r = BM = 8 cm.

Để  ${\overrightarrow{E}}_C$= 0 thì ${\overrightarrow{E}}_1$  ngược hướng  ${\overrightarrow{E}}_2$Þ C phải nằm trên đoạn AC

Về độ lớn thỏa E₁ = E₂

Þ  $\frac{q_1}{A{C}^2}=\frac{q_2}{{\left(AB-AC\right)}^2}$ Þ $\frac{36}{A{C}^2}=\frac{4}{{\left(100-AC\right)}^2}$  Þ AC = 75 cm.

Từ giả thuyết ta vẽ được hình bên (trường hợp khác cũng tương tự)

Để  = 0 Þ ${\overrightarrow{E}}_{CD}$  = ${\overrightarrow{E}}_{AB}$   (hình vẽ)

Áp dụng tính chất hình học ta có: sin45⁰ = $\frac{E_A}{E_B}$  = $\frac{\frac{q_1}{A{D}^2}}{\frac{q_2}{B{D}^2}}$  =   $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Þ $\frac{q_1}{q_2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{A{D}^2}{B{D}^2}$  = $\frac{\sqrt{2}}{4}$  Þ q₂ = 2 $\sqrt{2}$q₁ và mang điện trái dấu (*)

Mặt khác tan45⁰ = $\frac{E_A}{E_{AB}}$= 1 Þ E_A = E_AB Þ q₁ = q₃; kết hợp với (*).

tanα = $\frac{E_A}{E_C}=\frac{BC}{CD}=\frac{3}{4}$  Þ 4E_A = 3E_C Þ 4. $\frac{q_1}{A{D}^2}$ = 3.  $\frac{q_3}{C{D}^2}$Þ q₃ = 6,4.10^-8 C.

Để ${\overrightarrow{E}}_D$   = 0 thì ${\overrightarrow{E}}_B$ = - ${\overrightarrow{E}}_{AC}$ (ngược hướng, cùng độ lớn) được biểu diễn như hình vẽ.

Þ q₁ và q₂ có giá trị dương

Từ hình ta có sinα = $\frac{E_A}{E_B}=\frac{BC}{DD}=\frac{3}{5}$  Þ 5E_A = 3E_B Þ 5.$\frac{q_1}{A{D}^2}$ = 3. $\frac{q_2}{B{D}^2}$

Þ q₁ = 2,7.10^-8 C