Vì NC, ND là hai tiếp tuyến của đường tròn nên ON là tia phân giác của $\widehat{COD}$; NO là tia phân giác của $\widehat{CND}$ hay $\widehat{DNO}$ = $\frac{1}{2}\widehat{DNC}=\frac{{60}^o}{2}$ = 30^o

Mà tam giác ODN vuông tại D (do ND là tiếp tuyến) nên

$\widehat{DON}$ = 90^o − $\widehat{DNO}$ = 90^o – 30^o = 60^o

Mà ON là tia phân giác của  nên  $\widehat{NOC}=\widehat{NOD}$= 60^o

Vậy $\widehat{DNO}$ = 30^o; $\widehat{NOC}$ = 60^o.

Đáp án cần chọn là: D

Xét tam giác AOB vuông tại A ta có:

sin $\widehat{BMO}$ =  $\frac{OB}{OM}=\frac{R}{\sqrt{2}R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{BMO}={45}^o$

Xét tam giác OBM vuông tại B (do BM là tiếp tuyến của (O)) có $\widehat{BMO}$ = 45^o

=> $\widehat{BOM}$ = 90^o – 45^o = 45^o

Xét đường tròn (O) có MA; MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc  $\widehat{AOB}$

Suy ra $\widehat{AOB}$ = 2 $\widehat{BOM}$ = 2. 45^o = 90^o mà $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB

Nên số đo cung nhỏ AB là 90^o suy ra số đo cung lớn AB là 360^o – 90^o = 270^o

Đáp án cần chọn là: A

Xét (O) có OI $\perp$ MN tại I nên I là trung điểm của dây MN (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó)

=> MI = IN =  $\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{3}R}{2}$

Xét tam giác OIM vuông tại I, theo định lý Pytago ta có OI² = OM² – MI²

=>  OI =  $\sqrt{R^2-{\left(\frac{\sqrt{3}R}{2}\right)}^2}=\sqrt{R^2-\frac{3R^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{4}}=\frac{R}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Xét tam giác OIM vuông tại I ta có:

sin $\widehat{MOI}=\frac{MI}{MO}=\frac{\sqrt{3}R}{2}:R=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{MOI}={60}^o$

=> MON cân tại O có OI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên

$\widehat{MON}=2\widehat{MOI}$  = 2.60^o = 120^o

Đáp án cần chọn là: A

Xét tam giác OIM vuông tại I ta có:

sin $\widehat{MOI}=\frac{MI}{MO}=\frac{\sqrt{2}R}{2}:R=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{MOI}={45}^o$

=> MON cân tại O có OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên  

$\widehat{MON}=2\widehat{MOI}=2.{45}^o={90}^o$

Suy ra số đo cung nhỏ MN là 90^o

Đáp án cần chọn là: C