Câu hỏi:

04/08/2022 1,658

Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 90⁰.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{9 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

D. $\frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ $O H ⊥ C C^{'} \Rightarrow O H = a$

\begin{matrix} C D ⊥ A B \\ C' O ⊥ A B \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (C C' D) \Rightarrow A B ⊥ C C'

Trong (ABC), qua O kẻ $E F / / A B (E \in B C; F \in A C)$

Ta có: $\begin{matrix} E F ⊥ C C' \\ O H ⊥ C C' \end{matrix}\} \Rightarrow C C' ⊥ (E F H) \Rightarrow C C' ⊥ H E; C C' ⊥ H F$

Ta có:

\begin{matrix} (A C C' A') \cap (B C C' B') = C C' \\ (A C C' A') \supset H F ⊥ C C' \\ (B C C' B') \supset H E ⊥ C C' \end{matrix}\} \Rightarrow ((A C C' \hat{A'); (B} C C' B')) = (H \hat{F; H} E) = 90^{0} \Rightarrow H E ⊥ H F

$\Rightarrow Δ H E F$ vuông tại H

$Δ H C E = Δ H C F (c . g . v - c . h) \Rightarrow H E = H F \Rightarrow Δ H E F$ vuông cân tại H $\Rightarrow E F = 2 H O = 2 a$

Ta có: $\frac{E F}{A B} = \frac{C O}{C D} = \frac{2}{3} \Rightarrow A B = \frac{3}{2} E F = \frac{3}{2} .2 a = 3 a$

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{4}

C D = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow C O = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} . \frac{3 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

$C^{'} O ⊥ (A B C) \Rightarrow C^{'} O ⊥ C O \Rightarrow Δ C C^{'} O$ vuông tại O

\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{C^{'} O^{2}} + \frac{1}{C O^{2}} \Rightarrow \frac{1}{C^{'} O^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} - \frac{1}{C O^{2}} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{2}{3 a^{2}} \Rightarrow C^{'} O = \frac{\sqrt{6}}{2} a

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = C^{'} O . S_{Δ A B C} = \frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{8}$
Đáp án cần chọn là: D

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Media VietJack

Vì $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow A B$ là hình chiếu vuông góc của A′B lên

(A B C) \Rightarrow \hat{(A^{'} B; (A B C))} = \hat{(A^{'} B; A B)} = \hat{A^{'} B A} = 30^{0}

Xét tam giác vuông ABC có $A B = B C . \tan 60 = a \sqrt{3}$

$A A^{'} ⊥ (A B C) \supset A B \Rightarrow A A^{'} ⊥ A B \Rightarrow Δ A B A^{'}$ vuông tại A

$\Rightarrow A A^{'} = A B . \tan \hat{A^{'} B A} = a \sqrt{3} . \tan 30 = a \sqrt{3} . \frac{1}{\sqrt{3}} = a$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD=2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ACB^=600, cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có AB=a, đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A=A'B=A'C=a712 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh AB=2a2. Biết AC'=8a và tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng