Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh dA;BB'M=dA;BB'MN=AN Gọi N là trung điểm của AC ta có BB'M≡BB'MN nên dA;BB'M=dA;BB'MN Vì tam giác ABC đều nên AN⊥BN. Ta có AN⊥BNAN⊥MN⇒AN⊥(BB'MN) nên dA;BB'MN=AN=4 Bước 2: Tính VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=VB'.ABM Ta lại có BN=AB32=43, MN=AA'=6 nên SBB'MN=MN.BN=6.43=122⇒SΔBB'M=62 ⇒VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=13.4.122=162=VB'.ABM Bước 3: Sử dụng dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM Lại có VB'.ABM=13dB';ABM.SΔABM nên dB';ABM Ta có: AM=A'A2+A'M2=62+42=22AB=8BM=BB'2+B'M2=62+432=36 Bước 4: Sử dụng công thức SΔABM=pp−AMp−ABp−BM với p là nửa chu vi tam giác ABM. Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có p=22+8+362 ⇒SΔABM=pp−AMp−ABp−BM Vậy dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM=3.162122=4

Câu hỏi:

19/08/2025 4,273

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh

$d (A; (B B^{'} M)) = d (A; (B B^{'} M N)) = A N$

Gọi N là trung điểm của AC ta có $(B B^{'} M) \equiv (B B^{'} M N)$ nên

d (A; (B B^{'} M)) = d (A; (B B^{'} M N))

Vì tam giác ABC đều nên $A N ⊥ B N$ . Ta có $\{\begin{matrix} A N ⊥ B N \\ A N ⊥ M N \end{matrix} \Rightarrow A N ⊥ (B B' M N)$ nên $d (A; (B B^{'} M N)) = A N = 4$

Bước 2: Tính $V_{A . B B^{'} M} = \frac{1}{3} d (A; (B B^{'} M N)) . S_{Δ B B^{'} M} = V_{B^{'} . A B M}$

Ta lại có $B N = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}, M N = A A^{'} = \sqrt{6}$ nên $S_{B B^{'} M N} = M N . B N = \sqrt{6} .4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{2} \Rightarrow S_{Δ B B^{'} M} = 6 \sqrt{2}$

\Rightarrow V_{A . B B^{'} M} = \frac{1}{3} d (A; (B B^{'} M N)) . S_{Δ B B^{'} M} = \frac{1}{3} .4.12 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2} = V_{B^{'} . A B M}

Bước 3: Sử dụng $d (B^{'}; (A B M)) = \frac{3 V_{B^{'} . A B M}}{S_{Δ A B M}}$

Lại có $V_{B^{'} . A B M} = \frac{1}{3} d (B^{'}; (A B M)) . S_{Δ A B M}$ nên $d (B^{'}; (A B M))$

Ta có:

\begin{array}{l} A M = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} M^{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{22} \\ A B = 8 \\ B M = \sqrt{B B^{' 2} + B^{'} M^{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}} = 3 \sqrt{6} \end{array}

Bước 4: Sử dụng công thức $S_{Δ A B M} = \sqrt{p (p - A M) (p - A B) (p - B M)}$ với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có $p = \frac{\sqrt{22} + 8 + 3 \sqrt{6}}{2}$

\Rightarrow S_{Δ A B M} = \sqrt{p (p - A M) (p - A B) (p - B M)}

Vậy $d (B^{'}; (A B M)) = \frac{3 V_{B^{'} . A B M}}{S_{Δ A B M}} = \frac{3.16 \sqrt{2}}{12 \sqrt{2}} = 4$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều nên $A^{'} M ⊥ B^{'} C^{'}$

Ta có: $\{\begin{matrix} A' M ⊥ B' C' \\ A' M ⊥ B B' (B B' ⊥ (A' B' C')) \end{matrix} \Rightarrow A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'})$

⇒BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

$\Rightarrow ∠ (A^{'} B; (B C C^{'} B^{'})) = ∠ (A^{'} B; M B) = ∠ A^{'} B M = 30^{0}$

Theo bài ra ta có $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều cạnh a nên $A^{'} M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A^{'} M ⊥ B M \Rightarrow Δ A^{'} B M$ vuông tại M

\Rightarrow B M = A^{'} M . \cot 30^{0} = \frac{3 a}{2}

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

B B^{'} = \sqrt{B M^{2} - B B^{' 2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{2}

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B B^{'} . S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, $A B = B C = a .$ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và (AB′C′) bằng 60⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B′.ACC′A′ bằng

A. $\frac{a^{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{6} .$

C. $\frac{a^{3}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, $A B = B C = a .$ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và (AB′C′) bằng 60⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B′.ACC′A′ bằng