Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh dA;BB'M=dA;BB'MN=AN Gọi N là trung điểm của AC ta có BB'M≡BB'MN nên dA;BB'M=dA;BB'MN Vì tam giác ABC đều nên AN⊥BN. Ta có AN⊥BNAN⊥MN⇒AN⊥(BB'MN) nên dA;BB'MN=AN=4 Bước 2: Tính VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=VB'.ABM Ta lại có BN=AB32=43, MN=AA'=6 nên SBB'MN=MN.BN=6.43=122⇒SΔBB'M=62 ⇒VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=13.4.122=162=VB'.ABM Bước 3: Sử dụng dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM Lại có VB'.ABM=13dB';ABM.SΔABM nên dB';ABM Ta có: AM=A'A2+A'M2=62+42=22AB=8BM=BB'2+B'M2=62+432=36 Bước 4: Sử dụng công thức SΔABM=pp−AMp−ABp−BM với p là nửa chu vi tam giác ABM. Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có p=22+8+362 ⇒SΔABM=pp−AMp−ABp−BM Vậy dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM=3.162122=4

Câu hỏi:

13/07/2024 3,012

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh

$d (A; (B B^{'} M)) = d (A; (B B^{'} M N)) = A N$

Gọi N là trung điểm của AC ta có $(B B^{'} M) \equiv (B B^{'} M N)$ nên

d (A; (B B^{'} M)) = d (A; (B B^{'} M N))

Vì tam giác ABC đều nên $A N ⊥ B N$ . Ta có $\{\begin{matrix} A N ⊥ B N \\ A N ⊥ M N \end{matrix} \Rightarrow A N ⊥ (B B' M N)$ nên $d (A; (B B^{'} M N)) = A N = 4$

Bước 2: Tính $V_{A . B B^{'} M} = \frac{1}{3} d (A; (B B^{'} M N)) . S_{Δ B B^{'} M} = V_{B^{'} . A B M}$

Ta lại có $B N = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}, M N = A A^{'} = \sqrt{6}$ nên $S_{B B^{'} M N} = M N . B N = \sqrt{6} .4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{2} \Rightarrow S_{Δ B B^{'} M} = 6 \sqrt{2}$

\Rightarrow V_{A . B B^{'} M} = \frac{1}{3} d (A; (B B^{'} M N)) . S_{Δ B B^{'} M} = \frac{1}{3} .4.12 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2} = V_{B^{'} . A B M}

Bước 3: Sử dụng $d (B^{'}; (A B M)) = \frac{3 V_{B^{'} . A B M}}{S_{Δ A B M}}$

Lại có $V_{B^{'} . A B M} = \frac{1}{3} d (B^{'}; (A B M)) . S_{Δ A B M}$ nên $d (B^{'}; (A B M))$

Ta có:

\begin{array}{l} A M = \sqrt{A^{'} A^{2} + A^{'} M^{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{22} \\ A B = 8 \\ B M = \sqrt{B B^{' 2} + B^{'} M^{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}} = 3 \sqrt{6} \end{array}

Bước 4: Sử dụng công thức $S_{Δ A B M} = \sqrt{p (p - A M) (p - A B) (p - B M)}$ với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có $p = \frac{\sqrt{22} + 8 + 3 \sqrt{6}}{2}$

\Rightarrow S_{Δ A B M} = \sqrt{p (p - A M) (p - A B) (p - B M)}

Vậy $d (B^{'}; (A B M)) = \frac{3 V_{B^{'} . A B M}}{S_{Δ A B M}} = \frac{3.16 \sqrt{2}}{12 \sqrt{2}} = 4$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Media VietJack

Vì $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow A B$ là hình chiếu vuông góc của A′B lên

(A B C) \Rightarrow \hat{(A^{'} B; (A B C))} = \hat{(A^{'} B; A B)} = \hat{A^{'} B A} = 30^{0}

Xét tam giác vuông ABC có $A B = B C . \tan 60 = a \sqrt{3}$

$A A^{'} ⊥ (A B C) \supset A B \Rightarrow A A^{'} ⊥ A B \Rightarrow Δ A B A^{'}$ vuông tại A

$\Rightarrow A A^{'} = A B . \tan \hat{A^{'} B A} = a \sqrt{3} . \tan 30 = a \sqrt{3} . \frac{1}{\sqrt{3}} = a$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 90⁰.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{9 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

D. $\frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học