Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.

Hướng dẫn giải: Cách 1. Ta có ({ cos ^4} alpha = { left( {{{ cos }^2} alpha } right)^2} = { left( {1 - {{ sin }^2} alpha } right)^2} = 1 - 2{ sin ^2} alpha + { sin ^4} alpha ) Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1. Vậy ta được điều phải chứng minh. Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α) = 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1. Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1. Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1 ⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0 ⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0 ⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng). Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 722

Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)

Do đó: sin⁴α − cos⁴α = sin⁴α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin²α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin⁴α − sin⁴α = (sin²α + cos²α)( sin²α − cos²α)

= 1. [sin²α – (1 − sin²α)] = 2 sin²α − 1.

Vậy sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1

⇔ sin⁴α − 2 sin²α + 1 − cos⁴α = 0

⇔ (1 − sin²α)² − cos⁴α = 0

⇔ cos⁴α − cos⁴α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?

A. 3 – tan²x;

B. 3 + tan²x;

C. tan²x;

D. 4 + tanx.

Xem đáp án » 08/08/2022 14,498

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Xem đáp án » 12/07/2024 3,355

Câu 3:

Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng

A. sin α;

B. cos α;

C. – sin α;

D. – cos α.

Xem đáp án » 08/08/2022 3,084

Câu 4:

Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:

A. sin 20° = sin 160°;

B. cos 20° = cos 160°;

C. tan 20° = tan 160°;

D. cot 20° = cot 160°.

Xem đáp án » 08/08/2022 1,927

Câu 5:

Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

A. sin A = sin (B + C);

B. tan A = tan (B + C);

C. \(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\);

D. tan A = − tan (B + C).

Xem đáp án » 08/08/2022 1,213

Câu 6:

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

A. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);

B. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x}}{{\tan x - 1}}\);

C. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}\);

D. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{{{\tan }^2}x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Xem đáp án » 08/08/2022 892

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.

Nhà sách VIETJACK:

Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng

Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:

Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.

Nhà sách VIETJACK:

Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng

Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:

Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴α − cos⁴α = 2 sin²α − 1.