Cho điểm A, B, C sao cho:$\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$ . Cho điểm M bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $\overrightarrow{MN}$ là vectơ định bởi $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G nằm trong tam giác ABC, do đó ba điểm A, B, G và A, C, G không thể thẳng hàng.

+ Vì $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$  nên A, I, B thẳng hàng và I không phải trung điểm AB nên A, I, G không thẳng hàng.

+ Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG}$

$\iff 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG}$

Mà:$3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$

Nên:$2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG}$

$\iff 2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

Mặt khác:$\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB}$

Mà $2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$  nên ta lại có:

$\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}$

Vậy I, J, G thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$

 $\Rightarrow 6\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$(1)

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó, ta có: $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}\Rightarrow 5\overrightarrow{AH}=5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 6\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AH}\iff \overrightarrow{AK}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$

Vậy A, K, H thẳng hàng.