Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: $\overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G nằm trong tam giác ABC, do đó ba điểm A, B, G và A, C, G không thể thẳng hàng.

+ Vì $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$  nên A, I, B thẳng hàng và I không phải trung điểm AB nên A, I, G không thẳng hàng.

+ Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG}$

$\iff 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG}$

Mà:$3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$

Nên:$2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG}$

$\iff 2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

Mặt khác:$\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB}$

Mà $2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$  nên ta lại có:

$\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}$

Vậy I, J, G thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:  $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}\iff \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$(1)

Lại có:  $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\right)$

Và $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right)$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}$

Vậy D, E, I thẳng hàng.