Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC có:

AB² + BC² = 3² + 4² = 25

AC² = 5²  = 25

⇔ AC² = AB² + BC²

Vậy tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo)

⇒ BA ⊥ BC

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Kẻ DH vuông góc với BC tại H.

Do ABCD là hình thang vuông có đường cao AB nên AB = DH = 2a và AB // DH.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DH}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{DH},\overrightarrow{DC}\right)=\widehat{CDH}$.

Xét hình thang vuông ABCD có:

BH = AD ⇔ HC = BC – BH = BC – AD = 3a – 2a = a

Xét tam giác DHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

DC² = DH² + HC² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow DC=a\sqrt{5}$

Do đó, $\cos \widehat{HDC}=\frac{DH}{DC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a;\left|\overrightarrow{DC}\right|=DC=a\sqrt{5}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{DC}\right|.\cos \widehat{HDC}=2a.a\sqrt{5}.\frac{2}{\sqrt{5}}=4a^2$.