Câu hỏi:

13/07/2024 24,335

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và 2 đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D Î AC, E Î AB).

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AM của đường tròn (O), AH cắt BC tại F (F Î BC).

Chứng minh: AB.AC = AF.AM

c) Tia DE và CB cắt nhau tại K. AK cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: N, H, M thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và 2 đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D  AC, E  AB). a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. b) Vẽ đường kính AM của đường tròn (O), AH cắt BC tại F (F  BC). Chứng minh: AB.AC = AF.AM c) Tia DE và CB cắt nhau tại K. AK cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: N, H, M thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{B E C}$ = 90° (CE ^ AB), $\hat{B D C}$ = 90° (BD ^ AC)

Þ $\hat{B E C} = \hat{B D C}$ = 90°

Mà $\hat{B E C}$ và $\hat{B D C}$ là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC của tứ giác BEDC.

Þ Tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) đường kính AM

Nên $\hat{A C M}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AH cắt BC tại F nên AF ⊥ BC do đó $\hat{A F B} = 90 °$

Suy ra $\hat{A C M} = \hat{A F B}$ = 90°

Xét ∆ACM và ∆ABF, có:

$\hat{A C M} = \hat{A F B}$ = 90° (chứng minh trên),

$\hat{A B C} = \hat{A M C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Þ ∆ACM ᔕ ∆AFB (g.g)

Þ $\frac{A C}{A F} = \frac{A M}{A B}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AB.AC = AF.AM (đpcm).

c) • Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh câu a)

Þ $\hat{E D C} = \hat{E C B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Hay $\hat{K D B} = \hat{K C E}$

Xét DKDB và DKCE có:

$\hat{K D B} = \hat{K C E}$ (Chứng minh trên),

$\hat{D K C}$ là góc chung

Þ DKDB ᔕ DKCE (g.g)

$\Rightarrow \frac{K D}{K C} = \frac{K B}{K E}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ KB.KC = KD.KE (1)

• Tứ giác ANBC nội tiếp

$\Rightarrow \hat{K B N} = \hat{K A C}$

Xét DKBN và DKAC có:

$\hat{A K C}$ là góc chung,

$\hat{K B N} = \hat{K A C}$ (chứng minh trên)

Þ DKBN ᔕ DKAC (g.g)

$\Rightarrow \frac{K B}{K A} = \frac{K N}{K C}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ KB. KC = KA.KN (2)

Từ (1) và (2) ta có:

KD.KE = KA.KN (= KB. KC)

$\Rightarrow \frac{K E}{K A} = \frac{K N}{K D}$

Xét DKNE và DKAD có:

$\hat{A K D}$ là góc chung,

$\frac{K E}{K A} = \frac{K N}{K D}$ (chứng minh trên)

Þ DKNE ᔕ DKAD (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{K E N} = \hat{K A D}$ (hai góc tương ứng)

Þ Tứ giác ANED nội tiếp đường tròn.

Do đó 4 điểm A, N, E, D cùng thuộc một đường tròn (3)

• Tứ giác AEHD có $\hat{A E H} = \hat{A D H} (= 90 °)$

Þ E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Þ 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Do đó tứ giác ANHD nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow \hat{A N H} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ HN tại N (5)

• Ta có điểm N nằm trên đường tròn đường kính AM

$\Rightarrow \hat{A N M}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ MN tại N (6)

Từ (5) và (6) ta có: MN ≡ HN

Do đó ba điểm N, H, M thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Trong kỳ thi học kì I môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho, cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 59 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi có bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 3 tờ giấy thi? Biết rằng có 3 thí sinh chỉ làm 1 tờ giấy thi.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số học sinh làm bài 2 tờ giấy thi là x (x ∈ ℕ*) (học sinh)

Số học sinh làm bài 3 tờ giấy thi là y (y ∈ ℕ*) (học sinh)

Vì có 24 thí sinh dự thi mà có 3 thí sinh làm 1 tờ giấy thi nên ta có phương trình:

x + y + 3 = 24

Û x + y = 21 (1)

Vì tổng số tờ giấy thi là 59 tờ và có 3 thí sinh làm 1 tờ giấy thi nên ta có phương trình:

2x + 3y + 3 = 59

Û 2x + 3y = 56 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} x + y = 21 \\ 2 x + 3 y = 56 \end{matrix}$

Û $\{\begin{matrix} 2 x + 2 y = 42 \\ 2 x + 3 y = 56 \end{matrix}$

Û $\{\begin{matrix} y = 14 \\ 2 x + 3.14 = 56 \end{matrix}$

Û $\{\begin{matrix} y = 14 \\ x = 7 \end{matrix}$ (thỏa mãn)

Vậy có 7 thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi và có 14 thí sinh làm 3 tờ giấy thi.

Câu 2

Cho phương trình: 3x² + 5x – 6 = 0 (x là ẩn)

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = x₁² + x₁ + x₂ + x₂² −

Xem đáp án

Lời giải

a) 3x² + 5x – 6 = 0 (a = 3, b = 5, c = −6)

∆ = b² – 4ac = 5² – 4.3.(−6) = 97 > 0

Vì ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

• S = x₁ + x₂ = $\frac{- b}{a}$ = $- \frac{5}{3}$

• P = x₁x₂ = $\frac{c}{a}$ = $- \frac{6}{3}$ = −2

b) A = x₁² + x₁ + x₂ + x₂² − $\frac{1}{9}$

= (x₁² + 2x₁x₂ + x₂²) – 2x₁x₂ + x₁ + x₂ − $\frac{1}{9}$

= (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ + (x₁ + x₂) − $\frac{1}{9}$

= ${(- \frac{5}{3})}^{2}$ − 2.(−2) + ${(- \frac{5}{3})}^{}$ − $\frac{1}{9}$

= $\frac{25}{9}$ + 4 – $\frac{5}{3}$ − $\frac{1}{9}$ = 5.

Vậy A = 5.

Câu 3

Người ta thả một quả trứng vào cốc thủy tinh hình trụ có chứa nước, trứng chìm hoàn toàn xuống đáy cốc. Hỏi thể tích quả trứng dó là bao nhiêu cm³? (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết cốc thủy hình trụ có đường kính đáy 10 cm và nước trong cốc dâng thêm 7,5 mm.

(Công thức tính thể tích hình trụ: V = pr²h, với r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ.)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Công ty A thực hiện một cuộc khảo sát để tìm hiểu về mối liên hệ giữa y (sản phẩm) là số lượng sản phẩm T bán ra với x (đồng) là giá bán ra của mỗi sản phẩm T và nhận thấy rằng y = ax + b (a, b là hằng số). Biết giá bán là 500 000 đồng một sản phẩm thì số lượng sản phẩm bán ra là 1 300 (sản phẩm); với giá bán 540 000 đồng một sản phẩm thì số lượng sản phẩm bán ra là 1 600 (sản phẩm).

a) Xác định a, b.

b) Bằng phép tính, hãy tính số lượng sản phẩm bán ra với giá bán là 480 000 đồng một sản phẩm?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y = $- \frac{1}{2}$ x² có đồ thị (P) và hàm số y = x – 4 có đồ thị (D).

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho phương trình: 3x2 + 5x – 6 = 0 (x là ẩn) a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình. b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

Cho hàm số y = −12x2 có đồ thị (P) và hàm số y = x – 4 có đồ thị (D). a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho phương trình: 3x² + 5x – 6 = 0 (x là ẩn)

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = x₁² + x₁ + x₂ + x₂² −

Cho hàm số y = $- \frac{1}{2}$ x² có đồ thị (P) và hàm số y = x – 4 có đồ thị (D).

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.