Chứng minh 122+132+142+...+120222<1

Ta có: 122<11.2; 132<12.3; 142<13.4;...; 120212<12020.2021 Đặt A=122+132+142+...+120222 ⇒A=122+132+142+...+120222<11.2+12.3+13.4+...+12020.2021⇒A<1−12+12−13+13−14+...+12020−12021⇒A<1−12021⇒A<20202021 Vì 2020 < 2021 nên 20202021<1 Do đó A<20202021<1 . Vậy 122+132+142+...+120222<1 (đpcm).

Câu hỏi:

13/07/2024 10,030

Chứng minh $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Toán 6 Học kì 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{2^{2}} < \frac{1}{1.2}; \frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{2.3}; \frac{1}{4^{2}} < \frac{1}{3.4}; . . .; \frac{1}{2021^{2}} < \frac{1}{2020.2021}$

Đặt $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}}$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2020.2021} \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021} \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{2021} \Rightarrow A < \frac{2020}{2021}$

Vì 2020 < 2021 nên $\frac{2020}{2021} < 1$

Do đó $A < \frac{2020}{2021} < 1$ .

Vậy $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < 1$ (đpcm).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khánh gieo một con xúc xắc 50 lần và ghi lại số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo được kết quả như sau:

Số chấm xuất hiện

1

2

3

4

5

6

Số lần

4

10

11

7

12

6

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 5 chấm là:

A. $\frac{1}{10}$

B. $\frac{6}{25}$

C. $\frac{2}{25}$

D. Đáp án khác.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Số lần xuất hiện mặt 5 chấm là 12 lần.

Vậy xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 5 chấm là:

\frac{12}{50} = \frac{6}{25}

Câu 2

Số đối của số $\frac{3}{7}$ là:

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{- 3}{- 7}$

C. $\frac{- 7}{3}$

D. $\frac{- 3}{7}$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Định nghĩa: Hai phân số gọi là đối nhau nếu có tồng bằng 0.

Phương án A sai vì $\frac{3}{7} + \frac{7}{3} = \frac{9}{21} + \frac{49}{21} = \frac{58}{21} \neq 0$ ;

Phương án B sai vì $\frac{3}{7} + (\frac{- 3}{- 7}) = \frac{3}{7} + \frac{3}{7} = \frac{6}{7} \neq 0$ ;

Phương án C sai vì $\frac{3}{7} + (\frac{- 7}{3}) = \frac{9}{21} - \frac{49}{21} = - (\frac{49}{21} - \frac{9}{21}) = - \frac{40}{21} \neq 0$ ;

Phương án D đúng vì $\frac{3}{7} + (\frac{- 3}{7}) = \frac{3 - 3}{21} = \frac{0}{7} = 0$ .

Câu 3

Cho đoạn thẳng AB = 10 cm, M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là trung điểm của đoạn thẳng AM. Vậy độ dài đoạn thẳng BN là:

A. 5 cm

B. 2,5 cm

C. 20 cm

D. 7,5 cm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

b) Năm 2021 tổng diện tích đất trồng lúa của nước ta đạt 7425 (nghìn ha), bằng $\frac{9}{10}$ so với năm 2020. Em hãy tính xem diện tích trồng lúa của nước ta năm 2020 là bao nhiêu nghìn ha?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) $\frac{5}{7} . \frac{- 2}{11} + \frac{5}{7} . \frac{- 9}{11} + \frac{5}{7}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Làm tròn số 152,4849 đến hàng phần trăm ta được số:

A. 200

B. 152,49

C. 152,48

D. 152

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh 122+132+142+...+120222<1

Khánh gieo một con xúc xắc 50 lần và ghi lại số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo được kết quả như sau: Số chấm xuất hiện 1 2 3 4 5 6 Số lần 4 10 11 7 12 6 Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 5 chấm là:

Số đối của số 37 là:

Cho đoạn thẳng AB = 10 cm, M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là trung điểm của đoạn thẳng AM. Vậy độ dài đoạn thẳng BN là:

b) Năm 2021 tổng diện tích đất trồng lúa của nước ta đạt 7425 (nghìn ha), bằng 910 so với năm 2020. Em hãy tính xem diện tích trồng lúa của nước ta năm 2020 là bao nhiêu nghìn ha?

b) 57.−211+57.−911+57

Làm tròn số 152,4849 đến hàng phần trăm ta được số:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < 1$

Khánh gieo một con xúc xắc 50 lần và ghi lại số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo được kết quả như sau:

Số chấm xuất hiện

1

2

3

4

5

6

Số lần

4

10

11

7

12

6

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 5 chấm là:

Số đối của số $\frac{3}{7}$ là:

b) Năm 2021 tổng diện tích đất trồng lúa của nước ta đạt 7425 (nghìn ha), bằng $\frac{9}{10}$ so với năm 2020. Em hãy tính xem diện tích trồng lúa của nước ta năm 2020 là bao nhiêu nghìn ha?

b) $\frac{5}{7} . \frac{- 2}{11} + \frac{5}{7} . \frac{- 9}{11} + \frac{5}{7}$