Câu hỏi:

13/07/2024 1,432

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{5}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{5}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{5}}{c^{3} + 2 a^{3}}$ .

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\frac{a^{5}}{a^{3} + 2 b^{3}} = \frac{a^{2} [a^{3} + 2 b^{3}] - 2 a^{2} b^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}$ = a² − 2 $\frac{a^{2} b^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}$

a³ + 2b³ = a³ + b³ + b³ ≥ $3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . b^{3}}$ Þ a³ + 2b³≥ 3ab²

Þ $\frac{a^{2} b^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}$ ≤ $\frac{a^{2} b^{3}}{3 a b^{2}}$ Þ $\frac{a^{2} b^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}$ ≤ $\frac{a b}{3}$

Þ a² − 2 $\frac{a^{2} b^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}$ ≥ a² − $\frac{2}{3}$ ab Þ $\frac{a^{5}}{a^{3} + 2 b^{3}}$ ≥ a² − $\frac{2}{3}$ ab

Chứng minh tương tự

$\frac{b^{5}}{b^{3} + 2 c^{3}}$ ≥ b² − $\frac{2}{3}$ bc, $\frac{c^{5}}{c^{3} + 2 a^{3}}$ ≥ c² − $\frac{2}{3}$ ca.

Từ đây ta có S ≥ a² + b² + c² − $\frac{2}{3}$ ab − $\frac{2}{3}$ bc − $\frac{2}{3}$ ca

= $\frac{1}{2}$ [(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²] + $\frac{1}{3}$ (ab + bc + ca)

Þ P ≥ $\frac{1}{3}$ (ab + bc + ca)

Áp dụng bất đẳng thức (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx), ta có:

(ab + bc + ca)² ≥ 3 Þ ab + bc + ca ≥ $\sqrt{3}$

Þ P ≥ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Vậy min S =

\frac{\sqrt{3}}{3}

tại (a;b;c) =

(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}; \frac{1}{\sqrt[4]{3}}; \frac{1}{\sqrt[4]{3}})

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông có cạnh bằng a là

A. $a \sqrt{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Xem đáp án » 22/08/2022 10,938

Câu 2:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 8cm là

A.

\sqrt{2}

cm.

B. 8

\sqrt{2}

cm.

C. 4 cm.

D. 4

\sqrt{2}

cm.

Xem đáp án » 22/08/2022 5,136

Câu 3:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Tính $\hat{B D C}$ .

2) Chứng minh AEHD là tứ giác nội tiếp.

3) Các đường thẳng BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P khác B, Q khác C). Chứng minh HB.HP = HC.HQ.

4) Chứng minh OA vuông góc DE.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,924

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\hat{A B C} + \hat{B C D}

= 180°

B.

\hat{A B C} + \hat{A D C}

= 120°.

C. $\hat{A B C} + \hat{A D C}$ = 180°.

D.

\hat{A B C} + \hat{A D C}

= 90°.

Xem đáp án » 24/08/2022 3,040

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = f(x) = x²

1) Tính f(−1); f(3).

2) Cho A(−1; 1), B(3; 9) nằm trên đồ thị hàm y = x². Gọi M là điểm thay đổi trên đồ thị hàm số y = x² và có hoành độ là m (−1 < m < 3). Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,940

Câu 6:

Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm phương trình x – 5y = −7?

A. (2; 4).

B. (0; 1).

C. (3; 2).

D. (−1; 2).

Xem đáp án » 24/08/2022 2,061

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = x²?

A. (3;1).

B. (1;1).

C. (3;−1).

D. (−3;−1).

Xem đáp án » 22/08/2022 1,765

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{5}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{5}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{5}}{c^{3} + 2 a^{3}}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông có cạnh bằng a là

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 8cm là

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, khẳng định nào sau đây là đúng?

Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm phương trình x – 5y = −7?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = x²?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a5a3+2b3+b5b3+2c3+c5c3+2a3.

Nhà sách VIETJACK:

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông có cạnh bằng a là

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 8cm là

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, khẳng định nào sau đây là đúng?

Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm phương trình x – 5y = −7?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = x2?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{5}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{5}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{5}}{c^{3} + 2 a^{3}}$ .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = x²?