Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (kể cả đường thẳng d₂ và không kể đường thẳng d₁)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ đi qua điểm (1; 2) và (−1; 1) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=1a_1+b_1\\ 1=-1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ b_1=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy (d₁): y =$\frac{1}{2}$ x + $\frac{3}{2}$  ⇔ −x + 2y = 3.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_1­) ta được:

−0 + 2 . 3 > 3

Do đó ta có bất phương trình −x + 2y > 3 (không kể đường thẳng d₁) (1)

Xét đường thẳng d₂: y = a₂x + b₂ đi qua điểm (0; 1) và (1; 0) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}1=0a_2+b_2\\ 0=1a_2+b_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_2=-1\\ b_2=1\end{array}\right.$

Vậy (d₂): y =  −x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_2­) ta được:

0 + 3 − 1 > 0

Do đó ta có bất phương trình x + y − 1 > 0 (không kể đường thẳng d₂)  (2)

Xét đường thẳng d₃: y = a₃x + b₃ đi qua điểm (0; 2) và (1; 2) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=0a_1+b_1\\ 2=1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=0\\ b_1=2\end{array}\right.$

Vậy (d₃): y = 2.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_3­) ta được:

3 > 2

Do đó ta có bất phương trình y > 2 (không kể đường thẳng d₃) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-x+2y>3\\ x+y-1>0\\ y>2\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ đi qua điểm (2; 1) và (0; 0) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}1=2a_1+b_1\\ 0=0a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ b_1=0\end{array}\right.$

Vậy (d₁): y = $\frac{1}{2}$ x ⇔ x − 2y = 0.

Thay điểm (0; 1) thuộc miền nghiệm vào (d_1­) ta được:

0 − 2 . 1 < 0

Do đó ta có bất phương trình x − 2y ≤ 0 (kể cả đường thẳng d₁) (1)

Xét đường thẳng d₂: y = a₂x + b₂ đi qua điểm (−2; 0) và (0; −1) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}0=-2a_2+b_2\\ -1=0a_2+b_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_2=-\frac{1}{2}\\ b_2=-1\end{array}\right.$

Vậy (d₂): y = −$\frac{1}{2}$ x − 1 ⇔ x + 2y + 2 = 0

Thay điểm (−1; 0) thuộc miền nghiệm vào (d_2­) ta được:

−1 + 2 . 0 + 2 > 0

Do đó ta có bất phương trình x + 2y + 2 ≥ 0 (kể cả đường thẳng d₂) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình :$\left\{\begin{array}{c}x-2y\le 0\\ x+2y+2\ge 0\end{array}\right.$