Trong cùng một hệ tọa độ Oxy cho ba điểm $A\left(2;4\right), B\left(-3;-1\right), C\left(-2;1\right)$. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(-3;-1) có phương trình là y = ax + b.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}2a+b=4\\ -3a+b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua A và B là $y=x+2\left(d\right)$.

Mà $C\left(-2;1\right)$ không thuộc đường thẳng (d) vì $1\ne -2+2$ hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ngoài ra, ta có thể chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng bằng cách chứng minh AB khác BC + AC hoặc BC khác AB + AC hoặc AC khác AB + BC.

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là .

Khoảng cách giữa hai điểm B và C là .

Khoảng cách giữa hai điểm A và C là 

Ta có: $BC+AC=\sqrt{5}+5>5\sqrt{2}=AB$. Tương tự, ta có BC khác AB + AC và AC khác AB + BC. Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn còn lại).