Trong hình vuông ABCD và nữa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đường tròn đường kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB.

Cách giải 1: (Hình 1)

Kẻ PI $\perp$AB.
Xét $△$APK và $△$API :
$△$APK vuông tại K (Vì $\widehat{AKD}={90}^{\circ }$ góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính AD)
$△$ADP cân tại D, AD = DP
=> $\widehat{P_2}=\widehat{DAP}$
Mặt khác: $\widehat{P_1}=\widehat{DAP}$(So le trong vì AD // PI)
Do đó:$\widehat{P_1}=\widehat{P_2}$ => $△$APK = $△$API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

(Hình 2)

Ta có: $\widehat{AFD}={90}^o$ (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$
mà $\widehat{D_2}=\widehat{A_1}; \widehat{D_1}=\widehat{A_2}$; Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc
Suy ra: $\widehat{A_1}=\widehat{A_1}$ => $△$APK = $△$API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Cách giải 3: (Hình 2)

Ta có (Có số đo bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{AK}$)
Mặt khác góc $\stackrel{⏜}{IAP}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên góc bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc $\stackrel{⏜}{ADP}$
$\stackrel{⏜}{IAP}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{ADP}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{IAK}$ Suy ra: $\stackrel{⏜}{A_1}=\stackrel{⏜}{A_2}$ => $△$APK = $△$API
(Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) => PK = PI

Cách giải 4: (Hình 3)

DK $\perp$AE nên $\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{PE}}$.
Góc $\stackrel{⏜}{BAE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $\stackrel{⏜}{AE}$)Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc $\stackrel{⏜}{BAE}$
Suy ra: $\stackrel{⏜}{A_1}=\stackrel{⏜}{A_2}$ => $△$APK = $△$API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI